REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES PAR DES SÉRIES DE POLYNOMES

THÉOREME FONDAMENTAL DE WEIERSTRASS.

Une fonction continue quelconque peut étre représentée par une série de polynomes. Telle est la proposition fondamentale qui a été établie par Weierstrass (!). Diverses démonstrations en ont été données; elles peuvent toutes se ranger en deux catégories. Les unes, comme celles de Weierstrass et de MM. Picard (2),

Lerch (*) et Volterra (‘), font appel à des notions d'un caractère

transcendant; les autres, comme celles de M. Lebesgue (*) et de M. Mittag-Leffler (‘), sont d’une nature tout élémentaire et peuvent être rattachées à un important Mémoire de M. Runge (*). Toutes les méthodes dont nous venons de parler conduisent au résultat suivant: Étant donnée une fonction f(x) continue dans l'intervalle (a, b), extrémités comprises, on peut trouver un polynome P(x) tel que l’on ait dans tout cet intervalle :

If(æ)—P(x)|<e,

eétan un nombre positif, donné à l’avance, aussi petit que l'on

veut.

() Werersrrass, Berliner Sitzungsberichte, 1885. (2) Picano, Traité d'Analyse, t.1I, p. 258. x

(2) Lench, Rozprawy Ceské Akademie (2° classe) t. I, n° 33 (1892) et t. N, n° 9 (1893). Je ne connais ces Memoires de M. Lerch que par la citation qu’il en

fait lui-même dans son Mémoire : Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d’Abel (Acta Mathematica, t. XXVII, p. 339), où se trouve aussi une démonstration du théorème de Weierstrass au moyen de séries trigonométriques.

(*) VozterRRA, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1897, p: 83. (5) LesesouE, Bulletin des Sciences mathematiques, 1898, p. 278. (s) Mirrac-LerrLer, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, xg00. (*) Runaz, Acta mathematica, 1885, p. 387.

Supposons, pour le moment, celte proposition établie et appe- . . N Li lons P,(x) le polynome qui correspondrait à la valeur = de «€.

P,(x) sera la somme des x premiers termes de la série de polynomes :

(S) Pi+(Po—Pi)+...+(Pr—Pr)+...….

Et l’on aura |f(xæ)— P,(x)| Le, pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle (a, b). Donc la série S converge uniformément vers f(x) dans cet intervalle.

Elle converge même absolument dans cet intervalle, car on a

LP Paint 1 Pa f(x) +1 fe) — Prat < À

Cherchons à étendre ce résultat au cas où l'intervalle que l’on considère comprend toute la droite.

Nous supposons que f(x) soil continu pour toute valeur réelle de æ. D’après ce qui précède, on pourra trouver un polynomeQ,{(x), tel que l’on ait dans l'intervalle (-- an, + bn) :

É } LfCx) — Quel < 75 an, On Croissant indéfiniment avec n.

Alors La série.

Qi +(Q:s — Qi) + (Q3 — Qo) His (Qu — Qui) +... converge ABSOLUMENT vers f(x)pour toute valeur de x. . Mais, en général, elle ne converge pas uniformément sur toute la droite. Tout ce qu’on peut dire, c'est qu’elle converge uniformément dans tout intervalle fini.

Méthode de Weierstrass. — La démonstration de Weierstrass est très simple et le principe en est utile dans bien d’autres questions. Elle repose sur le calcul bien connu de l'intégrale

+ © ) ' Î et dt.

(Mais on pourrait refaire le raisonnement de Weïerstrass avec une autre intégrale jouissant de propriétés analogues.) Cette intégrale

a un sens et sa valeur est Vs. Il en résulte, en particulier, que, étant

5a CHAPITRE IV.

donné le nombre positif w, on peut toujours trouver un nombre A

tel que l’on ait + ©

edit <vw

poura > A.

Nous allons d’abord montrer que l’on a

Ce) = lim y, À)

avec

RL PA LU He Def ftuye VF) du,

k étant un nombre positif et f(x) une fonction bornée uniformément continue pour toutes les valeurs de x; nous désignerons par

M sa limite supérieure.

En elfet, soit À un nombre positif quelconque. On aura

x—kh x ou, en posant u — æ + kt,

Vrb(æ, &) =f, “fte + kt)erP dt

h + œ DE \ + f F(æ + kje-tat+ [| f(x + kt)erl dt.

f(z + h0:) f, A re e æ DE

k en désignant par 0, un nombre compris entre — 1 et +1.

De même, on a

+ 0 + æ 26 J(æ + kt)e-f® dt = 0% M f. eds #k #