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nc:
avec [0,|<{1,10,| 1. Or, pour 2 A,ona
+ © Ÿe eat £w A
et, d'autre part, on a
Le + 01k) — f(x) <w pour À < a.
LA La h Ea résumé, pour h < « et # < zona
Vrb(z, k)=[f(x) + 0w](ÿ7x — 20'w) +20 Mw,
les nombres 4, 6/, 9” restant compris entre — 1 et + 1.
Ou
pa, À) — f(x) = [0 + Fe. — 20 re a |u
ou enfin, en supposant w <{1,
M LYC, 4) — f(x) <(s+ D) T Le nombre & peut être déterminé indépendamment de + puisque f(x) est uniformément continu pour toutes les valeurs de æ. Par conséquent, si n désigne un nombre aussi petit que l’on veut, on peut trouver (ee prenant w —
\ MEN ye,
[YCæ, #) — fa) <n,
) un nombre «, tel que l’on ait
quel que soit æ, pourvu que l’on ait À S.
Autrement dit, d(x, k) tend uniformément vers f(x) lorsque k tend vers zéro.
Maintenant, considérons l'intégrale (zx, k); je dis que c’est une fonction entière de x. En effet, posons 3 = EË + ên, on aura
: n° 4 D. pe Tate ba) ES) È b(z, k Pare Ju) [ cos F Je du
An?) æ u—E\?
et , +é js J(u) [ein EE 21 |e Mr) du
Les deux intégrales sont celles qu’on obtient en remplaçant
dans d(x, ) la fonction f(u) par la fonction 2(u—Ë£in
Ju) ou Ftu)sine
Ces deux dernières fonctions sont bornées et uniformément continues quel que soit u. Par conséquent, d(z, £) est une fonction finie et bien déterminée de E et de n. On verrait facilement qu'il en est de même de ses dérivées en Ë et n qui vérifient les relations de Cauchy; en définitive, d(:, Æ) est une fonction entière de 3. Par suite, on peut écrire
dx, k) = Co+ Cix + Cort+...+ Cort +...,
les quantités Co — (0, k), C,—Ÿ'(0, Æ), ... étant évidemment réelles avec k. Le second membre est une série uniformément convergente dans toute région finie du plan; donc on peut prendre un nombre » tel qu’en posant
Pr) = Co+ Gr CT Le ni Cart on ait
(px, &)— P(æ)< À
pour toute valeur de æ comprise dans un intervalle quelconque donné d'avance. Et si l’on a pris, comme il est possible, Æ assez petit pour que l’on ait, quel que soit x entre les limites précédemment fixées,
IpCæ, #)— fa) < 2 on aura [P(æ)— f(x)| <e
pour toute valeur de x, comprise dans l’intervalle donné.
Alors, soit #(x) une fonction continue dans l'intervalle (a, b); si l’on prend pour f(x) une fonction égale à &(x) entre a etbet égale à o(a) pour x £ a et à &(b) pour x Zb, la fonction f(x) sera bornée et uniformément continue quel que soit x. On pourra donc lui appliquer la méthode précédente et l’on aura un polynome P(zx), tel que
IP(x)—æ(z)| < €
entre a et b. Nous avons ainsi atteint notre but.
Si la fonction f(x) est bornée et uniformément continue quel
que soit æ, la méthode même de Weïerstrass permet de la repré-
senter par une série de polynomes qui converge uniformément et absolument dans tout intervalle fini. C’est la série
P;+(P>—P;i)+...+(P,—Pri)+...,
où l'on a, quel que soit x entre — net+n:
