AUTRES DÉMONSTRATIONS
Vu l'importance du théorème fondamental, nous allons en faire connaître plusieurs démonstrations, à certains égards plus simples que celle de Weierstrass.
Nous ne donnerons pas la méthode de M. Picard (reposant sur l'emploi des séries trigonométriques), qui se trouve exposée dans son Traité d’ Analyse.
Les méthodes que nous allons développer sont fondées sur l'emploi de lignes polygonales comme. courbes approchées de la
* courbe continue y — f(x).
Soit f(x) une fonction continue de & à b; on peut trouver un nombre à, tel que l'inégalité |x'— x”| < à, entraîne
MICAETICAIE 7
Considérons une division de l'intervalle (a, b) en intervalles
partiels, tous plus petits que à, séparés par les points
To = €, Ti, ses T1, Tan = b.
Puis inscrivons dans la coufbe y — f(x) une ligne polygonale dont les côtés se projettent sur O x suivant ces intervalles. Cette ligne polygonale représentera une fonction continue y — w(x). La valeur de w(x) est égale à f(x) aux points de division; lorsque x est compris dans l'intervalle (æ;,,x;),# (x) est compris entre f(r:,) et f(xi) et f(x) entre
f@r)—Z et SD+ à
LA
LT
ou entre
FC) — à et fera)
lo ,
Dès lors, on a entre æ; etx;1 :
€ Lf(æ)—e(z)l < &
et, comme € est indépendant de l'intervalle partiel considéré, cette inégalité a lieu partout entre à et b, Il nous suffira maintenant de trouver un polynome P(x) tel que l’on ait
entre a et b, pour atteindre notre but qui est de vérifier par un polynome P l'inégalité
[f(æ)—P(z)| <e. pour a<x<b.
Les méthodes que nous allons exposer ont précisément pour but de déterminer un polynome P(x) tel que la courbe y=P(x) approche autant que l’on veut d’une ligne polygonale donnée.
Méthode de M. Volterra. — On sait (*) qu’une fonction pério-
dique quelconque g(x), (de période 2w) peut être développée en série de Fourier
Gi) g(r) = a+ > [as IT LASER) sin 2e ]
Lo) n=1
qui converge uniformément quel que soit æ, pourvu que cette fonction soit continue et qu’elle n’ait qu’un nombre fini de maxima et de minima dans un intervalle d’une période.
M. Volterra (?) applique ce résultat à la fonction y = g(x) obtenue de la manière suivante. Soit y — o(x) l'équation de la ligne polygonale donnée qui n’est définie qu'entre a et b. On peut. ajouter un côté à cette ligne polygonale de façon que les ordonnées des sommets extrêmes (en & par exemple et en c'extérieur à ab) soient les mêmes. Ceci fait, nous prendrons pour fonc-
(!) Voir par exemple : PICARD, Traité d'Analyse, t. I, p. 224 et 230. 4°) Voir aussi LERCH, Acta mathematica, t. XXVII.
REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 57 tion g(x) la fonction telle que l’équation y — g(x) représente la ligne polygonale que nous venons de former et toutes celles que l’on obtient à partir de celle-ci par une translation parallèle à Ox et égale à n(c—a)(n entier positif ou négatif quelconque). La fonction g(x) coïncidera avec (x) entre a et b; elle sera de plus uniforme, continue et périodique. Soit 26 —(c— a), la période. On pourra appliquer la formule (1) et en particulier prendre p assez grand pour que l’on ait entre a et b
nrT . NT g(r)—| ao + (an cos ” + b, sin < ) 2
