CRE

n=1 + ATT ‘-ATT £ DA Les expressions COS——; Sin —— sont des fonctions entières

de æ; on peut donc prendre dans leurs développements suivant les puissances croissantes de x un nombre de termes assez grand pour que les polynomes obtenus en diffèrent aussi peu que l'on veut. Par conséquent, puisqu'il n’entre dans notre inégalité qu’un nombre fini p de ces expressions, on pourra trouver un polynome P(x) tel que l’on ait,

u=p nrr UNTT € a+Y (a. cos + Dh sin )- P(x)|< -:

w uw 2 n=i

Et, puisque g(x) — (x) entre a et b, on aura dans cet inter-

valle, lp(x)—P(æ)l<e.

Nous avons démontré en passant qu'on peut représenter une ligne polygonale (et par conséquent une fonction continue quel-

conque) au moyen d’une suite finie de Fourier

# n=p Arr NT a+ Ÿ &n COS + D, sin 2

re + |

avec une approximation donnée à l'avance dans un intervalle fini déterminé. É

Méthodes élémentaires. — Soient

To= y Li, Day ces Tnt, En = Ÿ

les abscisses des sommets de la ligne polygonale y = (x). p(x) est une certaine fonction continue et uniforme entre a el b, dont on peut écrire ainsi l'expression

ge) = fe) + demie) — gi(æ)la(z — ri),

st en désignant par w;(x) la fonction du premier degré qui coïncide avec w(x) entre. æ;, et x; et par «(x) une fonction égale à o pour æ > 0, à 1 pour æ<o et finie pour x —0. On a

Ti-1

Pr) = Jin + nd Ji

Ti Ti-]

Supposons que l’on ait pu former une fonction continue B(x) qui approche de a (x) autant que l’on veut sauf peut-être pour x — 0 où elle reste finie. Alors la fonetion continue 4(æ) obtenue en remplaçant dans l’expression de (x), «(x — x;) par f(x —æxi), différera aussi peu que l’on veut de +(x). Et si la fonction f(x) a une forme analytique simple, il en sera de mêmé de d(x). Seulement, pour que ce raisonnement soit exact, il faudrait que l’on eût

la(é— a) —B(r—œ)|<e

(e étant un nombre donné à l'avance), cette inégalité étant vérifiée quels que soient x et x; dans tout l'intervalle (a, b), sauf peutêtre pour x — x;. C'est-à-dire que l’on ait

(r) la(x)—B(r)l<e,

dans l'intervalle fini [—(b— a), (b— a)] sauf peut-être pour x —0. Or ceci est impossible, puisque f(x) est continue et que l’oscillation de a«(æ) est fixe et égale à 1. Mais il suffit que l'inégalité (1) ait lieu en dehors d’un certain intervalle (— x, + n), qu’on puisse

rendre aussi petit que l’on veut. En effet, si|g(x)| <M entreaæ

et b, on aura, puisque la ligne polygonale a n côtés, lp(æ)—4(z)<anMe,

en dehors des intervalles (x; — n, æ;+n). D'autre part, la fonction continue @;(æ)—v;,(æ) est nulle en x;. On pouls donc prendre n assez petit pour que l’on ait

late) getal<e Ge

dans l'intervalle (æ; — , æ;+n), et par conséquent, on aura, dans cet intervalle

[@(æ) — Y(x)| <Ne+onMe,

en supposant |2(x) — $(x)| << N lorsque æ varie entre «a — b et b— a.

On aura ainsi (en prenant € et n assez petits, les nombres n, N, M étant fixes) une approximation aussi grande que l’on voudra dans tout l'intervalle.

M. Runge appliquait ces considérations en prenant pour f(x) la fonction rationnelle 1+<(G+ zx)

Pia) =

où » est un certain nombre entier. Cette fonction continue de x tend vers a(x) pour 0 <|x|<<1, lorsque n croît indéfiniment. C'est-à-dire qu’en prenant x assez grand, on aura

la(æ) —B(ær)| <e,

en dehors d’un certain intervalle (— x, + n) (aussi petit que l’on veut quand » croît), et d’autre part (x) reste fini.

Dans le cas où (b — a) ne serait pas inférieur à 1, on pourrait remplacer f(x) par 8 55 par exemple, pour ramener à ce cas.

En utilisant une fonction rationnelle continue pour B(x), M. Runge montrait seulement qu’on peut trouver une fonction

rationnelle continue aussi approchée que l’on veut d'une fonction

continue donnée. Mais il a donné autre part (!) des méthodes,

pour passer du cas de la fraction rationnelle à celui d’un polynome. M. Mittag-Leffler a proposé de prendre pour la fonction f(x)

l'expression

p(z) =a— arte,

Cette fonction est une fonction entière de x qui tend vers «(x) lorsque l’on a 0<|x| 1. La fonction d{x) obtenue en rem-

(!) RunNGE, Acta Matematica, 1884, p. 236.

plaçant dans w, a(æ) par f(x) si (b — «) est inférieur à 1 et T : a s

par 8) par exemple, dans le cas contraire, sera une

fonction entière approchée de +. D'ailleurs, en prenant dans son

développement un nombre de termes assez grand, on pourra la

remplacer par un polynome,.

On peut encore opérer ainsi : considérons l'expression

C'est une fonction continue (!) de x, qui reste évidemment égale à la valeur absolue de x. A l'exemple de Cauchy, nous pourrons la désigner par ÿx?. Pour avoir une fonction approchée de a(æx), il suffit de l'obtenir pour ÿx?. Or M. Lebesgue observe que l’on peut développer ÿx?. On a

us