L ! ER

Væ?=(i+s)}=i+ - 23 — AE 7 2 2.4 D- 4.6 en posant z—zx?—1 et la série du second membre converge pour |z| 1 (2). Elle converge même aussi pour 3 = #1, parsuite elle converge absolument et uniformément pour —1£z£1. Dès : lors, la série en x obtenue en y remplaçant 3 par x? — 1 converge uniformément entre — 1 et + 1. Si donc, on prend un assez grand nombre de termes, on formera un polynome P(x) tel que l’on ait

[Va — P(x)| <e entre —1 et +1.

L'équation y = P(x)

représente donc, à moins de € près, un angle Aroët dont les côtés sont lémités ; à savoir la droite y — — x, dans l'intervalle — 1 £x£o et la droite y — x dans l'intervalle o Per On en conclut immédiatement que, en choisissant convenablement les constantes m,

(*) Le fait que cette fonction est continue rend la méthode de M. Lebesgue plus simple dans son principe que celle de M. Runge et de M. Mittag-Leffler.

(?) Il est assez curieux de remarquer que la formule précédente se trouve, à titre d'exercice sur les séries, dans le Traité de calcul différentiel et integral de Joseph Bertrand. Mais Bertrand était très éloigné d’en déduire les conséquences qu'en a tirées M. Lebesgue.

A, P; QT, l'équation

Y=mz+n—+p.P(qgr+r)

représentera, à moins de pe près, un angle quelconque à côtés limités. En ajoutant entre elles un nombre suffisant d'expressions de ce genre, on peut, par suite, représenter une ligne polygonale quelconque, à moins de &' près, s' étant donné d’avance.

On peut aussi, de la méthode de M. Lebesgue, déduire une expression de a(x), ce qui la rapproche de la méthode de M. Runge, mais en diminue la simplicité. On peut y arriver de bien des manières; la plus simple paraît être la suivante; on peut

poser

et remplacer (1153 par un développement analogue à celui de

M. Lebesgue pour (a }; la multiplication de chaque terme par 5 assure la convergence pour x — 0.

Nous ne développerons pas les méthodes de M. Painlevé, pour les foncuons réelles analytiques, qui se trouvent exposées dans la

Note I.

EXTENSION AUX FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. d #

Il y a lieu de faire une distinction entre les fonctions continues par rapport à l’ensemble des variables et celles qui sont continues par rapport à chaque variable séparément.

L'ensemble des premières comprend l’ensemble des secondes; mais on peut former des exemples qui montrent que ces deux ‘ensembles ne coïncident pas. Ainsi, prenons la fonction qui est

: era à égale à 7 rap lorsque x ety ne sont pas tous deux nuls,et qui est

nulle dans le cas contraire. Elle est évidemment continue par rapport à x et y séparément; cependant, elle ne tend pas vers o. lorsque le point (x, y) tend vers l’origine sur la droite x = y.

Plus généralement, considérons la fonction nulle à l’origine et aux points de coordonnées rationnellés et qui, aux autres points,

is Ar, “ n ; D 2. LORS n L DA

f Pp=+eqg=+®r—=+oSs=+e (x à 2) (y :) \ s SES SA... (DCS P £ r\?

P=- 2 q=—r—=—xS$S=-- 00 (--#) + (r- 1) \ q ?

Elle est continue par rapport à x et y séparément et cependant elle est discontinue par rapport à l’ensemble des variables en une infinité de points dans un domaine aussi petit que l’on veut (5h

Nous ne nous occuperons que des fonctions continues par rapport à l’ensemble des variables.

Weierstrass avait donné dans son: cours l'extension de son théorème en employant l'intégrale

dr, Toy ce. Tn; k)

} + œ + © u,—x,\? Un—T (e) f “re ï Jui, üo, RE È ) qu - js du;...dun.

kV=r — ©

M. Mitiag-Leffler se sert des résultats acquis pour les fonctions d'une variable. Soit, par exemple, la fonction 3 = f(x, y) continue par rapport à l’ensemble des variables dans le domaine D

a<x<b, A£yS£B.

Soient

To — A; T1, Lo, +.:3 On, Tn— b,

des nombres fixes, indépendants de y; on peut les choisir de façon que la ligne polygonale : z—v(x, Y) du plan y=Y, inscrite dans la courbe 3 — f(x, Y) aux points d’abscisses x; diffère aussi peu que l’on veut de celle-ci; l’approximation € restant indépendante de Y entre À et B.

Or, d’après les méthodes que nous avons données, la fonction

In

o(r; Y)= Pi, V)+ D lera(r, Y)— px, Y)Ja(x —æi)

(*) Cet exemple est une généralisation du précédent obtenue à l’aide du principe de condensation des singularités. Voir HÂNKkEL, Untersuchungen über die unendlich oft unstetigen und oscillirenden Functionen. Tubingen, 1870.

REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 63 peut être représentée par le polynome en x

o(r, Y)= qu, Y)+ DCE. of, Y)]B(x — æ);

où f(x) est un polynome tel que l'on ait

la(æ) — B(x)| <w,

quel que soit æ dans un certain intervalle.

Par conséquent w(x, Y) représente f(x, Y) avec une approximation n indépendante de Y. Or le polynome en x, o(x, Y)a pour coefficients des fonctions continues de Y que l’on peut représenter avec telle approximation que l’on voudra. Par suite, on peut trouver un polynomeenxeten y Fo diffère de f(x, y) d’une quantité, constante dans D et qu’on peut Noire à l’avance aussi petite que l’on veut.

M. Lebesgue généralise directement les méthodes élémentaires employées pour les fonctions d’une variable. Dans le cas d’une fonction de deux variables, par exemple, il remplace la surface : — f(x, y) par une surface formée de morceaux de paraboloïdes.

Supposons que f(x, y) soil continue par rapport à l'ensemble de ses variables, dans le domaine D

On peut trouver un nombre à tel que l’oscillation de f soit plus

petite qu'une quantité positive donnée e, lorsque le point (x, y) . varie dans un rectangle de côté plus petit que à.

Divisons le domaine D en rectangles de côtés plus petits que à au moyen des droites

Did Tr; ARE RTE DT D:

DEA Von = Fr à es = Yp=B,

et soit 3;,x la valeur de f(xi, yx). Désignons de plus par 3 = v%ix(x, y) l'équation du paraboloïde qui passe par le quadri-

latère ayant pour sommets les points de la surface z— f(x, y)

qui se projettent aux points

(ais Yhh (Lin kb (ma Yami), (Tits Yami).

Ces projections sont les sommets d’un rectangle C;,; dans lequel

on a losxCe, y) — f(x, y)l<e.

Car les cotes des points du paraboloïde sont comprises entre la plus grande et la plus petite des valeurs 2;,4, 3i44,k Zi,ky1s Sigr,kpt lesquelles diffèrent entre elles de moins de e,

Si v(x, y) est la fonction qui coïncide avec w; (x, y) dans le carré C;,x (ê—0, ..., n—1; K—o,..., p—1), on aura dans tout le domaine D

Nous sommes donc ramenés à trouver un polynome qui approche de v(x, y), Or, on peut remarquer que l’équation

2 = Var Vpi+ x + y Vat+ ay

représente zéro si l’une au moins des variables x ou y estnégative, et un morceau de paraboloïde si x et y sont positifs; or on peut, suivant la méthode de M. Lebesgue, avoir de cette expression un développement approché pour les valeurs de x et y dont la valeur absolue est inférieure à un. En effectuant une transformation linéaire sur +, y et z séparément, on peut obtenir, à moins de € près, un morceau quelconque de paraboloïde et, en ajoutant un nombre limité d'expressions de ce genre, on obtient p(x, y) avec | une approximation donnée d'avance. 1 On pourrait aussi observer que l'équation de la surface F

z=v(x, y) Ve peut s’écrire ‘ser ll i=n—1k=p—1 = Ÿ 2 [a(æ— ais) a(x — 2i)] L Fe X Ea(y — yat) — y —ya)lesxCe 7): | rue

Car le produit des deux crochets est égal à 1 dans le carré Ci ur ES et nul en dehors, si l’on désigne comme auparavant par a(x) ubes rt fonction de x nulle pour æ > 0 et égale à 1 pour &æ < 0. : Tes

Or w;«(x,y) est un polynome qui est du premier degré séparément par rapport à æ et par rapport à y. Par suite, un raisonnement analogue à celui que nous avons fait pour le cas d’une variable nous montre que nous aurons un polynome approché de y(x, y) en remplaçant «(x) par un polynome (x) approché en dehors d’un intervalle — n, + n aussi petit que l’on veut.

Dans ce qui précède, nous avons supposé la fonction f(x, y) définie et continue dans un certain rectangle. Si, au lieu d’un rectangle, on avait un domaine fermé D, d’un F4 tenant ou non, il suffirait de remplacer la fonction f par une fonction continue dans un rectangle contenant D et qui coïncide avec f dans D. Cela est évidemment possible d’une infinité de manières.

On voit donc qu'on peut représenter toute fonction continue par rapport à l’ensemble des variables dans un domaine D fermé, par une série de polynomes qui converge uniformément et absolument dans D (*).

e 74 x 5 U à Une conséquence immédiate du théorème de Weierstrass est la suivante : E’tant donnée une série de fonctions continues,

f(æ)=u(xz)+u(xz) +...

convergente dans un intervalle (a, b), on peut toujours mettre f(x) sous la forme d’une série de polynomes qui converge dans le même intervalle. Et si la première série est uniformément convergente, on pourra supposer qu'il en est ainsi pour la série de polynomes (?). En effet, quel que soit p on pourra former un polynome Q, tel que l’on ait !

[Qp(æ) — Sh(x)| en

entre a et b. Par conséquent, Q,(x) tend vers la limite f(x) de S,(x) lorsque p croît indéfiniment (quel que soit x entre a et b). Par suite, la série de polynomes

Qi (Qi Qi) ++ (Qu Qi) +1:

converge vers f(x) entre a et b. Elle y converge uniformément

(') Pour l'étude des séries de polynomes d’une variable complexe, nous renvoyons le lecteur au livre de M. P. MonTEL. Leçons sur les séries de POBHGAEES d'une variable complexe (Collection Émile Borel).

(?) La généralisation au cas de n variables est immédiate.

s’il en est ainsi pour la série donnée; car on aura entre « et b : f(x) — Qo(r) SI) — So(Z)I+ISp(z) — Qo(r)|<e, en prenant p assez grand.

On sait d’ailleurs que, étant donnée une série uniformément convergente, on peut toujours, en groupant convenablement les termes, la transformer en une série absolument et uniformé-

ment convergente ('). On pourra donc s'arranger pour que la série de polynomes converge absolument et uniformément.

Lorsqu'on cherche un polynome approchant d’une fonction continue déterminée, il y a intérêt à obtenir, pour une approximation donnée, le polyÿnome le plus simple possible, par exemple du plus petit degré. Mais le résultat dépendra évidemment de la plus ou moins grande continuité de la fonction donnée f(x).

Ainsi, lorsqu'on remplacera la courbe y — f(x) par la ligne polygonale y — (x), il faudra, si l’on veut avoir une approximation €, découper l'intervalle (a, b) en intervalles de longueurs plus petites que d, à étant tel que l'inégalité

[are &"|£ entraîne

PACA AICHIET

entre a et b. Pour une valeur déterminée de &, on peut prendre pour Ô la plus petite valeur possible. On déterminera ainsi une fonction d — p(e) qui tend vers zéro avec &. Et l’on voit que la ligne polygonale sera d’autant plus simple pour une valeur donnée de & que la fonction p(e) décroîtra plus vite avec e. On peut dire que la décroissance de ®(e) près de € —o mesure la continuité de f(x) entre a et b. Ainsi, par exemple, si la fonction est dérivable entre & et b et si sa dérivée est bornée, on a @(e)S Ace, À étant un nombre positif fixe (?).

(:) Voir, par exemple, Émice BorEL, Acta mathematica, t. XXIV; p. 355.

(2) Pour plus de détails, voir P. MonTeL, Sur les polynomes d'approzimation (Bulletin de La Societé mathématique de France, t. 46, 1918). — DE LA VALLÉE Poussin, Lecons sur l'approæimation des fonctions d’une variable réelle (Collection Émile Borel), Chap. IV; dans la même Collection : S. BERNSTEIN, Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d'une variable réelle.

Le fait qu'une fonction possède une dérivée d'ordre r satisfaisant d'une condition de Lipschitz d’ordre «, entraîne la possibilité de représenter cette fonction. par un polÿnome de degré n avec une erreur de la forme Mn=7T-® (cf. DE LA VALLÉE Poussin, loc. cit., p.71). Inversement de la possibilité de représenter une fonction par un polynome de degré n entraîne l'existence de la dérivée d'ordrer qui satisfait à une condition de Lipschitz d'ordre a; plus généralement, les propriétés différentielles des fonctions sont étroitement liées à l’approximation avec

Représentation des fonctions dérivables.

En particulier, considérons une fonction f(x) qui ait une dérivée f; continue entre a et b. On peut se demander s’il est possible de la représenter par une série de polynomes telle que cette série et la série des dérivées convergent uniformément vers f(x) et f'(x) entre a et b. La réponse est affirmative (Parn- LEvÉ, Comptes rendus, 7 février 1898). En effet, on pourra trouver un polynome Q,(x), tel que l’on ait

f'(æ)= Qu(æ)| < L-

Mais alors, on aura

La) — Pate) < 9)

en posant Pa(æ)= f 1Q, (x) dr + fa).

Par suite, on a , Qu(x) = PC)

et les deux séries Pi+(Pe—P;i)+...+(P;— Ps); P,+(Ps—P,)+...+—(Pi— Ph) +...

convergent absolument et uniformément vers f(+) et f, entre a et b. Cette méthode s'étend immédiatement au cas où la fonction admet des dérivées continues jusqu’à un ordre fini déterminé. Supposons même qu’elle admette des dérivées de tous les ordres. On déterminera pour chaque valeur de x un polynome Q,(x) tel que l’on ait entre a et b

LAW (z)— Qn(z)| < en:

Puis, en choisissant convenablement les constantes d’intégralion, on pourra former un polynome P,(x) dont Q,(x) soit la dérivée d'ordre n et tel que

[fP(x)—PP'(x)| Le,(b—a)"-? (Don Eur). Si par exemple (b — a) est supérieur à 1, on pourra prendre ne I ina

; laquelle il est possible de les représenter par un polynome de degré donné (cf.

P. MonTeL, loc. cit., p. 118; DE LA VALLÉE Poussix, loc. cit., Chap. IV; SERGE BERNSTEIN, loc. cit., p. 112, 163). On trouvera dans le Mémoire de M. P. Montel:

A4 l’étude à ce point de vue des fonctions de plusieurs variables. Voir aussi À. Mar- CHAUD, Sur les dérivées et les différences des fonctions de variables réelles

‘ (Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. VI, fasc. 4, 5927, p. 397

et alors la série cherchée sera Pi+ (P:— P1)+...+ (Pa — PE) ane

Car cette série (ainsi que toutes les séries des dérivées) est une série de polynomes qui converge uniformément et absolument entre a et b vers f(x) [ou vers les dérivées correspondantes de f(x)].

L’inconvénient d’un tel développement est de ne pas mettre en évidence les propriétés de dérivabilité de f(x). Car on ne connaît pas les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une série de polynomes puisse être dérivée terme à terme.

C’est pourquoi nous allons donner un développement en série de fonctions transcendantes simples qui ne présente pas l’inconvénient indiqué.

Étant donnée une fonction f(x) qui admet des dérivées continues de tous les ordres entre — 1 et +1, on peut la représenter par un développement en série tel que

K=+o (2) DS (Axzkæ+ BLcoskræ + Csinknæ)

et les dérivées de f(x) seront représentées par les séries des dérivées correspondantes des termes de cette série. Toutes les séries ainst obtenues convergent uniformément entre —x el +1.

Remarquons d’abord que, étant donné a priori un développement de la forme (2), on connaît la condition nécessaire et suffisante pour qu'il converge entre —1 et +1 ainsi que loutes les séries des dérivées.

En effet, si la série des dérivées mime

D [xx —1)...(kA— m+is)Azæm+ B;(kT)" cos (ere + m 2) + Cx(kr)" sin (&re + m =)]

converge entre — 1 et + 1, elle converge en particulier pour æ=0. Or, en prenant par exemple m — 2n, on voit que le terme gé-.

REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 69 néral se réduit à (—1})"B;(Xrx)?* pour æ— 0. Par conséquent, B44? tend vers zéro lorsque Æ croît indéfiniment, quel que soit x; alors il en est de même pour B;4” quel que soit l’entier m.

De même, en considérant le terme général pour

T = O0, Mm=An+I,

on est amené à conclure que C;k”tend vers zéro quel que soit m. Dès lors la série

UrE2) => [Ba CkRy cos( kr + m 2) + Gx(4T)" sin (exe + m =)

est uniformément convergente quel que soit x. Il faut donc que la série restante soit convergente entre — 1 et +1 et par suite que A;k” tende vers zéro quel que soit m.

Il est donc nécessaire que les expressions Az4”, B;km, C;km tendent vers zéro, quel que soit m, pour que la série considérée soit convergente entre — 1 et +1. Cette condition est d’ailleurs suffisante et, si elle est vérifiée, la série est la somme d’une fonction périodique de période égale à 2 et d’une fonction holomorphe entre —1 et +1.

Démontrons maintenant le théorème que nous avions en vue (!). Pour cela, observons que le cas où f(x) serait une fonction indéfiniment dérivable et périodique (de période égale à 2) se traite immédiatement. En effet, f(x) étant continue, périodique et indéfiniment dérivable peut se développer en série de Fourier

(x) = E(Bzcoskræ + CxsinAra

uniformément convergente quel que soit æ. On sait de plus que ses dérivées peuvent être représentées respectivement par les séries uniformément convergentes composées des dérivées des termes du second membre.

Supposons que la fonction f(x), sans être périodique, sans même être nécessairement définie en dehors de l'intervalle