SR
(*) Voir Émize BorEL, Thèse, p. 29. Il est à peine utile de faire observer qu’on passe immédiatement au cas d’un intervalle quelconque par un simple changement de variable. Pour l'extension au cas de deux variables, voir Émie Borer, Sur les fonctions de deux variables réelles (Annales de l'École Normale, 1896); et Méthodes et problèmes de lathéorie des fonctions, p.72 à 88 (Gauthier-Villars).
(— 1, +1), soit telle que l’on ail S—n = fn), FPC—-n=fP (+,
quel que soit p, en appelant f(?)(— 1) la dérivée d'ordre p à droite de — 1 et f(P/(+ 1) la dérivée d'ordre p à gauche de +1:
Dans ces conditions, nous pourrons former une fonction périodique (x), de période égale à 2, qui coïncide avec f(x) entre —1 et +1 et qui est partout indéfiniment dérivable. Alors on pourra répéter ce qui précède sur la fonction #(x) quel que soit x et ce sera vrai en particulier pour f(x) entre —1 et +1.
Pour arriver maintenant au cas général, il nous suffira de montrer qu'on peut retrancher d’une fonction f(x) (supposée seulement dérivable à l’infini entre — 1 et + 1) une série
4(æ) = ZAxæk, uniformément convergente entre — 1 et + 1 ainsi que toutes ses dérivées, de facon que la différence
Y(x)= f(x) — xx) salisfasse aux égalités YP(— 2) = pP (+) quel que soit p.
Il faut pour cela que l'on ait l égalité
rt À 4 ne Amp Et à où le second membre est une constante connue C,.. Pour déterminer la fonction y(x) par ces Sole nes sous la forme x(æ) = G(z?) + zH(zx?).
On aura en dérivant successivement cette égalité
2H (1) C0; 4G'(G)= G, 8H" (1) = Ce — 12 H'(1), (3) DR ESA Pen 2PH1H@D (1) = Cp + unefonctiondeH'(1),H"(1),..., H2P?=0(x), 22P+2G@P#0 (1)= Cop+ + une fonction de G(1), G" (1), ..., G@rl(r),
Par suite, si l’on se donne arbitrairement pour # — 1 les dérivées
REPRÉSENTATION DÉS FONCTIONS CONTINUES. 71 d'ordre pair de G(t) et celles d'ordre impair de H{4), les autres seront déterminées successivement et d’une seule façon par ces égalités. En résumé, on peut trouver une infinité de systèmes de solutions des équations (3) :
GC 25; Core, SEER GP (1) = 8», cs HT ESTA); H'(1) = ki, EP HP) (1) = h),
Il s’agit maintenant de déterminer les fonctions G et H au moyen de ces égalités. Considérons, par exemple, les équations relatives à la fonction G : le problème sera résolu si la série
est convergente dans un cercle de rayon supérieur à 2. En effet, on pourra la développer à l’origine en une série de Mac-Laurin :
D'un 1? dont le rayon de convergence sera supérieur à 1. Alors la
fonction DIET sera bien une fonction G(x?) uniformément
convergente entre —1 et +1 et telle que G(P)(1) = g.
Mais, dans le cas général, non seulement la série (4) n’aura pas un rayon de convergence supérieur à 2, mais 1l arrivera que ce: rayon sera nul, la fonction G(x?) n'étant pas régulière au point +1. :
Pour traiter ce cas, nous ferons voir qu'il suffit de vérifier nos égalités avec une certaine approximation pour pouvoir résoudre le problème. En effet, supposons qu'on ait trouvé une fonction
in . IQ U(t) Sur Mr dont le rayon de convergence soit supérieur ou
égal à un et telle que l’on ait, non pas UP)(1)—g}, mais simple-
ment s [UP (1) — gp[<A,
À étant un nombre fixe indépendant de £. Alors, posons ; = 8p— UP (1) et. considérons la série
L(D=YŸ 4 PE.
Puisque |/,|< A, cette série est une fonction entière det et, par conséquent, la fonction analytique U(t) + L(£) a un rayon de convergence au point { — o supérieur ou égal à 1; d’autre part,
on aura évidemment UP) (1) + LP) = gp:
par suite, on peut prendre pour G la fonction U + L. Il s’agit donc de résoudre le système d’inégalités du premier degré en nombre infini avec une infinité d’inconnues
[wo + U+ UM +U3 +... + Un+...— Lol < À, lu +ou+3us+,. + nunt.. — gil LA, [2u2+ Gu3+...+ n(n —1)un+...— go| < A,
nn nm nn msn mms mms ses
Pour cela, considérons une série divergente à termes positifs
décroissants To Lite. + En...)
telle que x, reste inférieur à un nombre fixe B et que la série
soil convergente. (On pourrait prendre, par exemple, la série
harmonique æ» — 2.) D’après nos hypothèses sur les x;, il sera possible de trouver un entier 920, tel que l’on ait
[ro+mi+...+ on —]20|| se
Prenons alors [w|= 2%, +.., [u,,| —2x,, les signes des quantités Uo, --., Un, étant identiques à celui de g5. On aura [uo+...+ Un, — &o] < B.
Déterminons ensuite un nombre n,2n,+ 1 tel que l’on ait
fœneti eee + Tn, — FAI <B, en posant : | , 3 L1= Li — Ui— Bug — No Une
REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. 73 Nous prendrons (no+1)|un#1l = Tny+1s .. Rilun| = Tn,, les signes des w étant celui de g'; on aura donc [CRo+ 1) Uni ++ Pi ün, — 81] < B.
Et ainsi de suite; ayant déterminé wo, ..., Unyy ON déterminera un nombre 2p442 79 +1, tel que l’on ait
[æm+1 x AC 1 Tnyxs — |Ep+1 [| < B, avec pri = Ep—Dlup—e— Rp(Np—i) (Rp P HN) Uny:
Et l’on prendra
(np+1).e (np p +2) | until = Tnt ces Np+1 +. -(Ap+#1 Re AU 1) | Unpas = Tny4s
(ce qui est possible, car », est superieur ou égal à p +1), en choi- ; ; ; k sissant le signe de g°,,, pour signe de Unis eee) Unis D'où [Crp+ 1)... (Ap—p +2)Un,Hi+e..
+ Apr. (re p+1 ALT LUnpai— Ep+1l £ B.
En opérant ainsi indéfiniment, on déterminera tous les w. Or, on aura, en supposant |[@[<1,
Uo+üi+...— So = Ur... + Un, — Lo A ass A EU art er sa SU +...
Ao+ I Ai n(n1+1)
La quantité entre crochets est plus petite que la somme de la série convergente “+ + ee STE
Par suite, Ja valeur absolue du premier membre est inférieure à B+S.
De même, on a en général, avec [8,[£1, (p +1)!
4 + Ap+1 ce (Rp#t— P +) Unpar
: t Tap+i+i | Lun A LE, Cri fn orhakid 15 EGP D en, &p+1 Ha
P'up+ Up+itis— Sp =(Np+1)...(Rp—P +2)Unyi +...
« ni
Comme les x; vont en décroissant, la quantité entre crochets est inférieure à la somme des termes de la série DE à partir du
terme de rang 2h41 — Pp +1,et par conséquent inférieure à S.
Le premier membre est donc inférieur en valeur absolue à B 4 S quel que soit p : nous avons bien un système de solution de nos inégalités (en prenant pour A le nombre B + S). Le théorème est ainsi établi. La démonstration prouve, d’ailleurs, que l’on pourra former une infinité de développements de la même espèce que celui que nous avions en vue.
