MÉTHODES D'INTERPOLATION

Formule d’interpolation de Lagrange. — Considérons une fonction f(x) dont on connaît les valeurs c,, c, ..., cn pour les abscisses æ4, 2, ..., æn. La formule de Lagrange permet de déterminer un polynome de degré n —1 qui prend les mêmes valeurs Li, Ca. Cr POUPT = Li da et Lan

ns (x—m)(t— dr)... (2 — vin )(T — vin)... (@ = n), A => (cia)(ai—23).. (Ti Lin )(Gi— Tir)... (Gi 24)

On serait tenté de croire que le polynome P(x) sera d’autant plus approché de f(x) que n est plus grand; car » est le nombre de points communs aux deux courbes y = f(x) et y = P(x). En fait, c’est ce qu'on suppose souvent en Physique, lorsqu’on exprime approximativement la loi d’un phénomène au moyen d’un nombre fini d'expériences par une relation de la forme y = P(x) où P(x) est un polynome (par exemple dans l’étude des dilatations).

Si cette méthode était rigoureuse, on aurait là un nouveau moyen de développer une fonction en série de polynomes, et par

un procédé très simple. as P(x) est de la forme 2R(2) où

les polynomes R;(x) sont indépendants de la fuctiti f(æ) considérée et peuvent être calculés une fois pour toutes:

Il y a donc lieu de rechercher si |” ApDrOR ASE augmente avec ne Nous allons donner un exemple où c’est le contraire qui a lieu.

Nous montrerons ainsi que la formule d’interpolation de Lagrange ne peut pas conduire au théorème de Weterstrass Cup

Considérons d’abord une fonction qui soit nulle aux points d’abscisses

—(m— —(m—: 3 ne A

1, ; m m nm m m

1 soi à À. ’abséisse Z.

et qui soit égale à = pour l’abscisse —-: La formule d’interpola-

tion de Lagrange fournira un polynome P,,(+) prenant les mêmes valeurs aux mêmes points

€ +) (ee M) eue(e— E)(e— +) (of) (e 0 NS ar er es Les REG GIE

Supposons maintenant que m soit impair : m— 2q +1. Quel

. . . , 1 PE “ que soit l’entier g, le point d’abscisse ; sera le milieu de l’un des

2 m intervalles égaux séparés par les points d’abscisses

TEA L 2 13 — , .……., 0, — 9 9 CET) ls ; m m m

Considérons alors le polynome P,(x) sans nous préoccuper

(‘) Cet important résultat, que je croyais nouveau lorsque je l'ai donné dans mon Cours, avait été obtenu antérieurement par M. Runge. J'ai eu connaissance des travaux de M. Runge sur ce sujet par une communication que M. Mittag- Leffler a bien voulu me faire au 3° Congrès international des Mathématiciens à Heidelberg, le 9 août 1904. Le Mémoire original de M. Runge : Ueber empirische Lunktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten, a paru dans la Zeitschrift für Math. und Physik (t. XLVI, 1901, p. 229). M. Rungea exposé une partie de ses résultats dans un Livre à l’usage des ingénieurs : Theorie und Praxis der Reihen (Sammlung Schubert, Güsschen’sche Verlagsbuchhandlung. Lepzig, 1904). Parmi les beaux résultats obtenus par M. Runge, je

citerai seulement le suivant : si l'on calcule la formule de Lagrange, pour la

dans l'intervalle compris entre + 3, 63, mais qui diverge en dehors de cet intervalle. On voit que cet exemple est bien plus simple que celui du texte. Je crois devoir cependant maintenir ce dernier, car le mode de démonstration employé est de nature à pouvoir rendre des services dans bien des questions analogues. Dans le mème ordre d'idées voir aussi ÉmiLe Borec. Méthodes et problèmes de la théorie des fonctions, p. 129 à 132. — P. Montez, Leçons sur les séries de polynomes d'une variable complexe, p. 49 à 65 (Collection Emile Borel). — M. FRÉCHET,

: Sur un défaut de la méthode d'interpolation de Lagrange (Nouvelles Annales ï: de Mathématiques, juillet 1920, p. 241). M. Fréchet montre qu'une faible erreur sur la valeur de la fonction en un des points de base x; peut produire sur le polynome d'interpolation P,(z) une erreur arbitrairement grande. — Voir aussi SERGE BERNSTEIN, Sur les propriétés des fonctions analytiques réelles (Mathe- . matische Annalen, t. LXXV, 1914).

fonction

dans l'intervalle — 5, + 5, on obtient un résultat qui converge

pour le moment de la fonction qui lui a donné naissance. Nous allons montrer qu’on peut déterminer un nombre X tel que l’iné-

Ph (:) | A,

À étant une quantité quelconque donnée à l’avance (!). En effet, on peut écrire

Hs m(m —1) [ AN 7 2 (m—+a)(m+4)...(2m+r) (m+i1)(m+2) | (m+i)(m+3)...2m

galité nm > K entraîne

lt 2m+3 om+5 5m+2

à 00- mms

DS ——— mm ————— m(m—2)(3m +1) m+Ii m +3 2m

La première ligne du second membre est supérieure à m(m—1 : | Le SITE PR er LR qui tend vers 1 lorsque #7 croît indéfiniment. Par (m+i)(m+o2) L [7 2 conséquent elle sera supérieure à spourm> h, si hk est assez

grand. D'autre part, on a

2m + 3 2m + 5 3m+2 3 TRE RE near A dl anrereree dd

2 m(m—2)(3Mm+1)

Par suite, on a pourm>h

Le second membre croît indéfiniment avec m; on pourra donc déterminer 4 > h, tel que l’inégalité m > k entraîne

ROIS Ceci étant, considérons une suite de courbes C4, Ce, Cs, ..., définies de la façon suivante. La courbe C, est une courbe con-

à , à 1 : ; même manière sur le point d’abscisse ni étant un entier quelconque fixe.

REPRÉSENTATION DES FONCTIONS CONTINUES. rh

tinue qui coïncide avec Ox en dehors de l'intervalle (=, ! }et Li RT)

qui a un maximum égal à a au milieu de cet intervalle.

On pourrait prendre, par exemple, dans cet intervalle, la courbe