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Je vais montrer qu’on peut trouver une courbe T continue
, entre — 1 et +1, telle que la courbe y =1l,,r(x) n’ait pas pour
limite T lorsque p croît indéfiniment. Cela prouvera bien que la
formule d’interpolation de Lagrange ne donne pas une approximation croissant avec le degré du polynome employé.
Il suffit de montrer que l’on peut choisir F de manière que
U,,r (2) ne tende pas vers le point de T d’abscisse 2. Or, remar-
. quons que l’on a [p,Cy1(Z ) SE P3r(x)
en employant les notations précédentes. On peut donc prendre un nombre k, de façon que l’on ait
Im,c,(2)]>24 Pour pe he
(1) On aurait un raisonnement analogue en divisant le segment — 1, +1 en
intervalles de longueurs (2q +1), g étant un entier quelconque fixe.
, , L Deux cas pourront alors se présenter : ou bien I,54, (:) ne » QT
LA | L [ tend pas vers zéro (ordonnée de Ci, Cas re: pouteE 2)
lorsque (h, restant fixe) p croît indéfiniment et alors la proposition est démontrée en prenant pour F la courbe C, ; ou bien alors on peut déterminer ua nombre r, tel que l’on ait
1 \ We ()
Soit maintenant À, un nombre entier supérieur à L, et r,. Consi-
Se pour p > ri.
dérons la courbe C, , formée des sinusoïdes qui figurent dans C,
et Cp-1(p—12Zh2) et de l’axe Ox dans le reste de lintervalle : : x , I (— 1, +1). La courbe C,,, sera continue; son ordonnée en x = = 2, à sera nulle et l’on aura Up, p = Hp,Cns + Hp,Cpa°
D'ailleurs, on a
Le (:) re Ex
puisque < P>he> ri et pe (br
puisque
P—12he> hi.
Donc
1 A mes, G)]>24—2
| ; : dr:
Deux cas pourront alors se présenter : ou bien H, 6, (i) ne tend ‘AT
pour p— 12h32.
pas vers zéro lorsque p croît indéfiniment et alors le théorème est démontré en prenant pour F la courbe C,4,, ou bien on pourra déterminer un nombre. r; tel que l’on at
Wa (:)
On prendra alors un nombre k, supérieur à h, et r:, ét l'on fôrmera une courbe C;,, formée des sinusoïdes qui figurent dans C,,,
A << — pour p > ro.
C;, et Ch 1, (p—12h;) et qui coïncide avec O x dans le reste de l'intervalle. Et l’on recommencera sur C;,, le même raisonnement que sur Gr Alors, on voit que deux cas pourront se présenter. Ou bien, au bout d'un nombre fini x d'opérations, on trouvera une courbe C,,, continue entre —1 et +1 d’ordonnée nulle
l ï enæ—>et telle que lc», (2) ne tende pas vers zéro lorsque »
croît indéfiniment et alors le théorème sera démontré. Ou bien, la suite de courbes C, ;, sera telle que l’on ait, quel que soit n,
L À HEC (i)f>ea-i hs AAA «
La courbe C, ;, est d’ailleurs formée de sinusoïdes qui figurent dans C,, C,, -.. GC, et de Ox dans le reste de l'intervalle — 1, + 1. Considérons alors la courbe T formée des sinusoïdes C;,, C;,, Cs, + Cr, -.., et de Ox dans le reste de l'intervalle (— 1 +1). L'ordonnée y de T est une fonction de æ évidemment continue pour æ/<o. Elle est aussi continue pour æ—0, car y —=0 pouræ—oet|y|<|x] dans tout l'intervalle. De plus, l’ordonnée
de Test nulle pour x — =. 11 suffit donc, pour démontrer le théo-
rème, de faire voir que I, r (=) ne tend par vers zéro lorsque p
croît indéfiniment. Or ceci est bien évident, car, d’après la disposition de la courbe F, on a
Ui,4,7 (tr) = [ion 5, (2)
quel que soit ». Par suite, l’expression Il,r (a) ne peut tendre
vers o (!) puisque sa valeur absolue reste supérieure à A ROUE une infinité de valeurs de p : 4, OUPS Ras pr 2
Formule générale d’interpolation. — Nous allons maintenant montrer qu’on peut remplacer l'emploi de la formule de Lagrange par un autre procédé d’interpolation, à la vérité plus compliqué,
(:) D’après la remarque que nous avons faite, il y a même une infinité d’abs-
2 L ù cisses : — en lesquelles la courbe y =, r (æ) ne tend pas vers la/courbeT.
mais qui offre l'avantage de fournir une approximation indéfiniment croissante. Pour préciser : on peut former, une fois pour toutes, des polynomes P,,,(x) qui jouissent de la propriété suivante. Etant donnée une fonction f(x) définie et continue entre oet1,ona
Fe) = + (Ms i)+e. + (Un — UMys) +...
Ug = Y'y(2) Pp,g() p=0
et la série de polynomes qui représente f (x) converge uniformément entre o el 1.
En d’autres termes, la connaissance des valeurs de la fonction continue pour les valeurs rationnelles de la variable permet d'écrire immédiatement les polynomes d’approximation, au moyen des polynomes P,,(x), calculés une fois pour toutes indépendamment de toute fonction particulière. ;
Nous démontrerons ce résultat en introduisant les fonctions @p,g (&) Continues entre o et 1, qui sont définies par les égalités suivantes (en supposant p £ q) :
en posant
2p,g(T)= 0, pour ox 2— et pour æ2 2; Pp,g(T)=+qQ2—p+1, pour — £x< £ ; Op,g(T)=—qz+p+i1, pour : <a.
On déterminera ensuite les polynomes P,,, (x) de façon que l’on ait, entre oet 1, lop,a(t) — Pp,g(t)1< FTÉ Alors, on aura
Ph,a(Z)= Pp,g(æ)+ a Ep,a(Z) avec [ep,g(æ)| 1.
D'où Uy = Pg + 87 en posant r=q 5 PE vez Dy(S)rrate Eg = gs 2 (Gate
Il me suffira de montrer que ®, el :, tendent uniformément
vers les limites f(x) et o lorsque gq croit indéfiniment. Or | f(x) ?
est borné entre o et 1. Soit |f(x)| < M, on aura
le le <MÉEE-
Donc :,(x) tend uniformément vers zéro D'autre part, soient x un point quelconque entre o et 1, et q un
à entier quelconque ; on ji toujours trouver un nombre P <q; tel
que l’on ait Pis € P < T RER 16 q q On a donc x = “a Al q avec 0<0<1, et P0,g — 0, *, Dp—1,g — 0, CN ET mL © p+1,9 = 05 Pr Dy,g = O avt PS, Rs ur) tr;
D'où
Or on peut prendre le nombre g assez grand pour que l'inéga-
lité |æi— | RE q
NA w
entraine partout ( F q
et, par suite, 7) = 00 [r(2) rc] 0f7
Autrement dit, D,(x) tend uniformément vers f(x) Par suite N,(x) tend uniformément vers f(x) et la série
M+ D (Ugly)
converge uniformément vers f(x) Il est d’ailleurs clair que l’on pourrait, dans ce qui précède,
remplacer l’ensemble des nombres rationnels par un ensemble dénombrable partout dense quelconque. L'extension à n variables est immédiate.
Pour les applications, il serait très intéressant de calculer efectivement les polynomes P,,,(æ) au moins pour les petites valeurs de p et de qg (!). Pour faire ce calcul, on pourrait employer l’une quelconque des démonstrations du théorème de Weierstrass. On aurait ainsi des formules d’interpolation applicabies à toute fonction continue avec un succès certain. On peut s'arranger de manière que ces formules soient dérivables, lorsque les dérivées existent. (Voir une Communication de M. E. Borel, dans les Comptes rendus du III Congrès international des Mathématiciens.)
Méthodes d’approximation de Tchebicheff (?).
Les méthodes de représentation des fonctions par des séries de polymomes peuvent être comparées à celles qui permettent de
représenter un nombre quelconque par la limite d’une suite de
nombres rationnels. Dans cette dernière question, la considération des fractions continues permet d’obtenir une représentation univoque d’un nombre donné. De plus, en s’arrétant à une réduite quelconque, on obtient une fraction qui représente une approximation supérieure a celle qui est donnée par toutes les fractions dont les termes ne sont pas plus simples.
Un progrès analogue peut être obtenu, dans le problème qui nous occupe, par la méthode de Tchebicheff. Son objet est le sui-
(*) On trouvera dans le Mémoire de M. H. LeBesque, Sur les intégrales singulières (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1909, p. 108, 109) une méthode générale permettant de former effectivement les polynomes P,,, (z).
(?) Voir Touesicuerr, Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approchée des fonctions ( Bulletin de la Société physico-mathematique de l’Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. XVI, 1858, col. 145-149; Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint- Pétersbourg, t. IX, 1859, p. 201-291).
La méthode de Tchebicheff a été reprise et rendue rigoureuse par M. Pauz KIRCHERBERGER, /naugural-dissertation : Ueber Tchebychefsche Annäherungsmethoden, Gëttingen, 1902. Nous avons utilisé dans cequisuitcetimportant travail : — M. Frécuer, Sur l’approtimation des fonctions continues périodiques par
des sommes trigonométriques limitées (Annales de l'École Normale, 1908,
p. 43 à 46). — DE LA VALLÉE Poussin, Leçons sur l'approæimation des fonctions d'une variable réelle (Collection Émile Borel), Chap. VI et VII. On trouvera dans le Chapitre VII l'extension de la méthode au cas des expressions trigonométriques finies. — SERGE BeRNsTEIN, Leçons sur les propriétés extrémales. Pour l'extension de la théorie au cas des fonctions d'une variable complexe, wair P. MoxTez, Leçons sur les séries de polynomes d'une variable complexe, P. 66 à 72 (mème Collection). « r
vant : étant donnée une fonction f(x) continue dans l'intervalle (a, b), chercher s’il existe un polynome approché N(x) donnant une approximation supérieure à tous Les polynomes de méme degré n.
Pour préciser cette question, considérons un polynome de degré n:P(x)—A52z"+ A,x"1+..,.+ A, et posons
La fonction | y | est continue dans l'intervalle (a, b), elle ÿ atteint donc au moins une fois son maximum mn. Lorsque le polynome P(x) varie en conservant le même degré, m varie également; c’est une fonction de A,, A4, ..., À, : m(A,, A,, ...,A,). C’est même une fonction continue, car on peut faire varier assez peu les quantités As, A, ..., An, pour que |y| varic de moins de € dans tout le domaine limité (a, b) et par suite pour que m varie aussi de moins de €.
D'ailleurs, m est positif ou nul; si même, comme nous le ferons maintenant, nous supposons que f(x) ne coïncide pas entre a et b avec un polynome de degré x, m sera certainement positif. Par suite, l'ensemble des valeurs de m, lorsqu'on fait varier Ag; :-., An de façon quelconque, à certainement une limite inférieure pu. Il s’agit de savoir si cette limite inférieure est atteinte pour un polynome déterminé de degré n :
(zx) = 402 "+...+ an,
que nous appellerions polynome d’approximation de degré n.
La foncuon m(As, ..., A,) étant continue atteint certainement sa limite inférieure y’ lorsque A,, ..., À, varient dans un domaine borné et fermé quelconque (c’est-à-dire, en particulier, lorsque les À; restent entre des limites finies données). Mais, en général, x' sera supérieur à p.
Pour tourner cette difliculté, nous allons montrer qu’on peut déterminer des limites pour les A, telles que, en désignant par p la limite inférieure de m lorsque les À restent entre ces limites, on ait certainement p'= pu. ?
Observons d’abord que p est au plus égal au maximum M de |/(x)| dans l'intervalle (a, b). Car on a
u <m(o, 0, 0, ..., 0) = maximum de |f(x)—o| dans (a, b) = M
Par suite, on ne change pas le problème en se restreignant aux
ir de degré n pour lesquels on a »m <M. Or ces polynomes sont tels que les variations de leurs coefficients sont bornées. En
effet, seit P(x) l'un d’eux; on a entre «à et b [P(æ)|£|f(æ)| + ]1P(x) — f(æ)| SM + m, et pour les polynomes que nous prenons : »m£M; donc
IP(æ)|£2M entre « et b.
Dès lors, on pourra écrire tous ces polynomes sous la forme
| in (æ—æo)...(æ— vi 1)(T —Gira)...(æ —æ») P — D A DR SRE TURN A EE DE RE AS BU (x) 27° (ti— do)... (di—tin)(di—Zin)...(æi=æn)
OÙ Toy Li =.) Tn SOnt n + 1 abscisses fixes comprises entre & ét bet où, les yirestent en valeur absolue inférieurs à 2 M. Nous emploierons la notation (due à M. Poincaré)
Bor+...+B,<Bizt+...+B, (en supposant B',, ..., B, tous positifs), pour indiquer que l’on a 1BAIESB (P=0, Cu)
Nous aurons alors Dirt)... (æ—+ lri1l)(æ + ri)... (æ + lzal).
[(œi—2o)...(ri— tin )(ri— tin)... (ti) 1 —= 1
Le second membre est un polynome dont les coefficients sont fixes, Moxæ*+...+M,. Par conséquent, on a, pour tous les polynomes considérés,
