FA EM D ATEN

Par suite, m(A5, A, .….., À,) atteint sa limite inférieure 4 pour au moins Un point (2, 4, ++, Un) du domaine D (‘) défini par les inégalités (4).

Ainsi, il existe bien au moins un polynome d’approximation de degré n : H(r)—=apx"+...+ an. Ceci montre en même temps que y est positif; Sans quoi, si y était nul, f(x) serait iden-

(*) Ce raisonnement n'exclut pas l'hypothèse où a,—0o, c’est-à-dire où le. degré du polynome H(x) serait inférieur à x. Nous le considérerions encore comme de degré x avec un premier coefficient nul.

tique entre a et b à un polynome H(x) de degré », ce qui est contraire à l'hypothèse.

Nous allons démontrer maintenant une propriété essentielle des polynomes d’approximation : // existe un seul polynome d’approximation de degré donné n pour la fonction continue f(x) dans l'intervalle (a, b).

Nous savons déjà qu'il en existe au moins un : I(x). Posons > =.f(x)—NM(zx). La fonction continue |y| atteint son maximum y pour au moins une valeur de x dans l'intervalle (4, b). Soient &« une telle valeur et 6 la valeur correspondante de y; on a f—+u. Appelons A! l’ensemble des points 4 pour lesquels f/— y et A" l’ensemble des points &’ pour lesquels on à $'=— —u; l’un au moins des ensembles A, A" n’est pas nul. Ces deux ensembles sont évidemment fermés puisque y est continu. D'autre part, on peut trouver un nombre 2 tel que l’oscillation de y soit inférieure à un nombre positif s < y dans tout intervalle de longueur inférieure ou égale à 20, compris dans (&, b).

Par suite, dans tout intervalle I de longueur à ayant pour milieu un point &/ il n’y aura aucun point &”: De même dans tout intervalle J de longueur à ayant pour milieü un point &” il n’y aura aucun point &’. Enfin, on pourra former autour de tout point y qui n'appartient ni à À’, ni à A", un intervalle K ayant ce point pour milieu et qui ne contient au sens étroit aucun point de À ni de A”. D'ailleurs tous les points de (a, b) sont chacun intérieurs au sens étroit à au moins un intervalle I, J, K. Par suite, on peut former un nombre fini Æ de ces intervalles tels que chaque point de (a, b) soit contenu au sens large dans l’un au moins d’entre eux et il en sera de même des intervalles contigus qu’on obtient en supprimant dans les Æ précédents leurs parties communes. Cela fait, si deux intervalles consécutifs ne renferment ni l’un ni l'autre aucun point de A’ (ou aucun point de A”), on réunira ces deux intervalles en un seul; après avoir fait cette opération aussi souvent que possible, on se trouvera avoir divisé le segment (a, b) en un nombre fini d’intervalles consécutifs, L,, L,, ..., L,, qui ne contiennent chacun au sens large que des points d’un seul des

. ensembles A’ et A”, et tels que deux intervalles consécutifs ren- ferment des points l’un de A', l’autre de A”.

De plus, si L, renferme des points de A’, L,,, des points de A", la distance du dernier point de A! contenu dans L, au premier point de A" contenu dans L,,, est supérieure à 20. Par suite on peut supposer que l’extrémité commune des deux intervalles L,, Ly4, n’appartienne n1 à A’, ni à A"°et que sa distance aux points de (A!+ A") soit supérieure à à. D’ailleurs il pourrait arriver qu'il n’y ait qu’un seul intervalle L qui serait (a, b).

Le raisonnement précédent s'applique quel que, soit le polynome H(x). Lorsque (zx) est un polynome d’approximation, je dis que le nombre p des intervalles L est supérieur à n +1.

En effet, soient a, &,.Ë,, ...,£,1, b les extrémités de ces intervalles, et considérons le polynome (+)

Q(r)=n(r—6:)...(2 — Ep).

Je dis que si p—1=n, on peut trouver un polynome R(z) de: degré n pour lequel le maximum m de |f(æ)—R(x)| soit inférieur au maximum p de |y|=|f(x)—H(x)|. En effet, si p—1£<n, Q(x) est de degré nr au plus et par suite aussi le polynome : R(x) = {(x)— Q(x): Or Q(zx) ne change de signe qu’en passant d’un intervalle L, à l'intervalle consécutif L,,,. Par suite, on pourra choisir le signe de n de façon que Q(æ) soit positif dans tout intervalle L, qui ne contient que des points æ!et négatif dans les autres.

D'autre part, dans tout intervalle 1, on a

p—e<f(x)—N(xz)£y

et, comme aucun intervalle I ne contient de points E;, on a, dans tous ces intervalles,

nt <IQ(x)| <[n[(db — a}r=1.

Enfin, Q(zx) est positif dans tout intervalle E (car tout intervalle I. est contenu dans l’un des intervalles L qui contiennent des

points «/). Alors, si l’on a pris|n| < G RES

api’ 0n aura, dans tous

les intervalles I,

0 < f(x) —N(z) —Q(z) <p— Inlèrt,

(*) Dans le cas où il n’y aurait qu'un seul intervalle L, on prendrait Q(z)=n.

De même, on aura, dans les intervalles J, — (u—InlôP-1) < f(x) —R(x) < 0.

Enfin, appelons E l’ensemble des points de (a,.b) qui ne sont intérieurs au sens étroit à aucun intervalle I ou J. Les valeurs de |y|=|f(x) —TM{(x)|, pour les points de cet ensemble, sont limitées supérieurement et la limite supérieure p/ est certainement inférieure à p. Car cette limite supérieure y! est atteinte, soit en un point extérieur aux intervalles I et J, soit en une extrémité de ces intervalles, mais jamais en un point intérieur au sens étroit à un intervalle I ou J, comme le sont les seuls points où |[y|= 1. Par suite, en tout point de l'intervalle (a, b), la fonction |f(x)—R(x)| est inférieure à l’une des quantités —[|n|2?"! ou p<u. Donc Il(x) n’est pas un polynome d’approximation de degré n.

Réciproquement, soit un polynome P(x) de degré n et m le maximum de |y| en posant y — f(x) —P(x). Formons les intervalles L correspondants. S'ils sont en nombre supérieur à 7 +1, il n’y a pas de polynome P,(x) d'ordre n, distinct de P(x), pour lequel le maximum m, de | f(x) — P,(x)| soit inférieur ow même simplement égal à m. En effet, dans chaque intervalle L, [y] atteint au moins une fois son maximum. Soient donc, par

exemple, ‘ CAC TH COTE NEA

des abscisses en nombre supérieur à n +1 pour lesquelles y prend les valeurs m, — m, m, — m, .... Si l’on a m,£m, le polynome de degré 7 non identiquement nul

Y(æ)= CREER ES CAD F4 Ge) prendra en «', a", ... des valeurs a Y(ai)Zo, Y(æ1)£o, Y(a)20, ee

Ces conditions, en nombre supérieur à n +1, impliquent toujours l'existence de n +1 racines inégales ou égales pour d(æ), ce qui est impossible. Donc d(x) est identiquement nul, . c’est-à-dire que P,(x) est identique à P(x). |

De ce qui précède il Cédire d’abord qu’il n'existe Jamais qu'un seul polynome d’approximation de degré n. [l résulte aussi que la condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynome de degré n soit un polynome d’approximation est que le nombre des intervalles L soit supérieur à n +1.

Étant donnée la fonction f(x) continue entre a et b, il existe un polynome d’approximation déterminé pour chaque valeur du degré n. Soit ,(x) ce polynome et pu, le maximum de | f(x) —1,(x)| dans l'intervalle (a, b). Si l’on suppose que f(x) ne coïncide entre & et b avec aucun polynome, 1, est une fonction univoque et positive de n. C’est même une fonction qui n’est jamais croissante. Car H,(x) peut être considéré comme un polynome de degré n +1 et, par suite, on a Un2 Un+s. Les nombres Un ne croissent jamais et restent posilifs : is tendent donc vers une lémite À. Le théorème de Weierstrass (qui a été obtenu postérieurement aux travaux de Tchebicheff) nous apprend que cette limite est nulle. En effet, dans le cas contraire, il n’y aurait. aucun polynome P(x) tel que l’on ait dans tout l'intervalle (a; b)

HOOIES

ce qui est contradictoire avec le théorème de Weierstrass. :

Nous avons observé que le degré de N,(x) pouvait être inférieur à n;.soit mA le degré de Il,; mn est nécessairement une fonction de » qui n’est jamais décroissante. De plus, on ne peut.

le

avoir Mn = May QUE Si Un = nu. Or, lorsque x croît indéfimiment, pn est toujours positif et tend vers zéro; par conséquent, un décroit en passant à un}, pour une infinité de valeurs de » | (sinon pour toutes). Par suite, m, croît (et d’au moins une unité) pour une infinité de valeurs de ». Donc le degré Mn de CE croît indéfiniment avec R. hé Enfin, on voit que la série de polynomes dont la convergence uniforme vers f(x) est la plus rapide pour des degrés successifs donnés sera la série | Dale "Ta

Di + (To — M) + (M3 — Ma) +... + (0-1) AT 7:

ee ya"

qui présente le caractère de représentation univoque que nous avions voulu obtenir. Toutefois, observons que la Re Lei

de|s|est au plus égal à celui de [g(z) —

entre le développement et la fonction ne se poursuit pas dans tous ses détails. Ainsi, la somme des polynomes d’approximation de degré n de deux fonctions continues n’est pas toujours le polynome d’approximation de la somme de ces deux fonctions.

En utilisant le théorème de Weierstrass on peut arriver à calculer avec autant d’approximation que l’on veut les polynomes de Tchebicheff. La méthode peut ainsi être utilisée pratiquement pour la représentation effective en série de polynomes.

Pour le voir, nous démontrerons d'abord que la correspondance entre une fonction continue et son polynome d'approximation de degré n, est continue.

Autrement dit, soient

H,(r)= or" + ai +... + a,

(x) + AIT, (æ) = (ao + Ato)æ" +. ..—+(an—+ Aa),

les polynomes d’approximation de degré n de deux fonctions f(x) et g(æ) continues dans l'intervalle (a, b). Je dis que, à tout nombre positif n, on peut faire correspondre un nombre e tel que l’inégalité

f(x) —8(r)l<e, supposée vérifiée dans tout l'intervalle (a, b), entraine

[Amon Jam<m ce, [aul<n.

En effet, soit p le maximum de|y|en posanty=f(x) — H,(x). Si l’on écrit aussi 3 — g(x) — MOULES — AN,(x), le maximum ; puisque Hat ATT,

est le polynome d’approximation de g. Fe on à

Lee) Ha(æ) lg Ce) — fa) +lf(e) + Ma(a)l< à + 8

Donc PES entre «& et b.

D'autre part, formons les A TER L relatifs à y. Il yena un nombre fini KZ n+1. On pourra prendre un point dans chacun de ces intervalles de facon que les valeurs correspondantes de 3 pour les abscisses

pe : 2 33 BL An LA LU Le, L'Aprr Lee

soient alternativement + 4 et — 41. On aura donc, à Ja fois, —p—e< ga) — Ua) — Alu) <H+E, — es < fai) — ga) <e, (—1iu = Una) — fai) =(—i)p (EST. 2,250 POSER D'où, en ajoutant membre à membre, (—1u—p—9os <—All}(a) <(—i)pu+p+02e,

ou AAN,(a)>—2e, Allh(a)<+2e, Allh(as)>—2e.

Je vais montrer maintenant que l’on a nécessairement [AU,(æ)| < 2€

pour tous les points de l’un au moins des intervalles a; a, tas, Lys +. Any Any2. IL me suffira de faire voir que dans le cas contraire le polynome All,(x) de degré » aurait au moins n maxima où minima distincts, ce qui est évidemment impossible puisque la dérivée de AIT, est de degré (n — 1).

Supposons donc qu’il RS dans chacun des intervalles indiqués, au moins une valeur a!, &,, ..., «,,, de æ pour laquelle on ait [AN,(æ)| > 2e. |

Si l’on a AM,(æ«,)<—2e ou All,(a,) << —2e, comme on a AN; (a) > — 2e et Al,(o3) > — 26, il y a un minimum de All, (x) atteint dans l'intervalle 4, «3. Sinon, on a.

ATI; (a) > 2e, Allh(a)> 2e et Al}(a)<2e;

il ya donc encore un minimum entre à, et «3.

De même, si AN, (œ,) > 2e ou AH; («,) > 2e, comme on a

ATh(@) L2e et AT, (a) < 26,

il y a un maximum entre & et 4,; sinon on a AIT, (x,) << — 2e, ATlh(a,) << —2e et All,(a;)> —2e et il y a un maximum entre æ, et 4,. Et ainsi de suite : il y a alternativement un minimum, puis un maximum dans chacun des n intervalles &,@, Lo Lys, As A5 se)" An Ln+9-

Aïnsi, il est bien prouvé qu'il existe un intervalle H;:(4;, aix) dans lequel on a constamment |[AN,(x)| < 2e.

de

Lorsque g(æ) varie en restant tel que l’on ait|f(x)—g(x)| ae, AT, varie, mais l'inégalité [AIT,(x)| 2e est toujours vérifiée dans l’un au moins des nr + 1 intervalles H,,H,,....,H,,, sans que ce soit nécessairement toujours le même. Prenons n? + 1 points fixes (à) (A (ë)

dans chacun des intervalles H; : 3°, 2, ..., x®,, toujours mettre AT, (x) sous l’une des n + 1 formes

on pourra

Yi(æ) = > u® (æ — x ).. .(r—x}), MT — æj: (2— DL

A en 0, Ga) Ga) af) 2 Ga)

(Er En Fa) as avec [ul l<2e.

Or,ona

d(x) € 2:( MO a+... + MY), avec 4 k=n<+1 : à M nr + M — (+ |z]).. .(e+|r)2 en EE 0 Te sve NES Thai) na) 1) —2p, x — r® )|

metz |(xy 2P)... (a —xhi)(2)) Th n+i R =

Les quantités MY sont des nombres positifs fixes indépendants de la fonction g(x); soit N le plus grand de tous; N est indépendant de g(x) et de e; on peut donc prendre + de façon que l’on ait 2eN < n, quel que soit le nombre positif donné d’avance 1.

. Par suite A, (T) € n(zr+ arc i+...+ 1).

C’est ce qu’il fallait démontrer; on en déduit en même temps que dans l'intervalle (a, b) on aura L

[AM (æ)| < er ci—-1+,,,+1),

Le en supposant c>{b|, c>{al.

Par suite, en prenant n assez petit, on pourra rendre le premier membre inférieur dans (a, b), à une quantité positive donnée #/.

Revenons à l'application que nous avions annoncée. Étant donnée la fonction f(x) continue dans (a, b), on peut prendre pour fonction g(æ) un certain polynome P(x), d’après le théorème de Weierstrass. Or la recherche du polynome d'approximation N,+ AN, d’un polynome donné P(x) est évidemment un

eu

problème algébrique que l’on pourra toujours résoudre par des moyens d’ailleurs plus ou moins compliqués, sur lequels nous ne nous étendrons pas.

On obtient ainsi les coefficients du polynome d’approximation I, de f(x) avec une approximation inférieure à un nombre quelconque ñ donné d’avance. Ceci revient à dire que l’on sait les calculer. Ainsi, lorsqu'une fonction continue est donnée de telle manière que l’on sache calculer les polynomes approchés de Weierstrass, le calcul des polynomes d’approximation de Tchebicheff n'exige que des opérations algébriques.