REPRÉSENTATION DES FONCTIONS DISCONTINUES PAR DES SÉRIES DE POLYNOMES

Nous avons vu que la somme d’une série de fonctions continues dans un intervalle (a, b) peut être une fonction discontinue (p. 38). Nous avons vu aussi que la somme d’une telle série peut être représentée par une série de polynomes qui converge dans (a, b).

Par conséquent, le théorème de Weierstrass (p. 51) n’admet pas de réciproque. On peut seulement observer que, si une fonction discontinue est représentable dans un intervalle (a, b) par une série de polynomes, cette série ne converge pas uniformément dans (a, b); elle n’y converge même pas quasi-uniformément (p- 42). |

Il est naturel, maintenant, de chercher à étendre à des classes de fonctions plus vastes que celle des, fonctions continues les méthodes d’approximation par des polynomes (!).

Le procédé le plus simple consiste à trouver une fonction continue de x, f(æ, €), qui tende vers la fonction donnée f(x), lorsque < tend vers zéro. On pourra ensuite déterminer un polynome P(x, e) tel que l’on ait, dans l’intervalle (a, b),

z IfCz, 5) — P(zx, e)| Aer Par suite, on aura Pre) 72; ed-File

(:) Pour tout ce qui concerne les fonctions discontinues, je ne puis mieux faire que de renvoyer aux Leçons sur les fonctions discontinues de M. Baire, publiées dans cette Collection. M. Baire faisait son Cours au Collège de France en mème temps que je faisais le mien à l’École Normale, et j'ai été bref sur les parties qu’il traitait. On sait d'ailleurs quelle autorité ses travaux si profonds et si

” personnels ont conféré à M. Baire dans ces questions.

g4 CHAPITRE V.

avec Lou, et P(x, e) tend vers f(x) lorsque « tend vers zéro. On peut donc écrire

x Ï I (r)= Prior) AP — ]— P(x, Arte AT) (LT) | (z :) P(æ, 1)

+ [P(e Ps ——)|+ ; h ) LE SE

De plus, on voit que si dans un intervalle partiel (&,b,), f(x, e) tend uniformément vers f(x), la série convergera uniformément vers f(x) dans ce petit intervalle. Si l’on désire qu’elle converge de plus absolument dans un intervalle on utilisera la remarque de la page 66.

Fonctions discontinues en des points isolés. — Considérons d'abord une fonction f(x) continue dans l'intervalle (a, b) sauf aux points d’abscisses æ,, Z2, ..., æn. En prenant € suffisam= ment petit, elle sera continue dans le domaine D formé par ce qui reste de l'intervalle (a, b) lorsqu'on enlève les segments si(æi—<, æi+e). Nous allons maintenant former une fonction. f(x, €) continue dans tout l'intervalle («, b), coïncidant avec f(x) dans le domaine D et qui tende vers f(x). Pour cela, supposons d’abord que la fonction f(x) soit bornée entre à et b; alors f(x) a une certaine valeur finie en x;. Soient À, A, B les points de la * courbe y = f(x) qui ont pour abscisses 2; — +, æ; + e, æi. Nous L prendrons pour les portions de la courbe y = f(x, €) comprises entre les droites : æ = 2x;—e, x —2;+5, les droites AB, BA’. Et de même dans tous les segments 5. La fonction f(æ, s) ainsi définie est continue dans (a, b)et tend vers f(x). Elle tend même à uniformément vers f(x) dans le domaine D qui correspond à une valeur déterminée quelconque de e. LCR

Si, pour une abscisse x;, la valeur de la fonction f(x) était + %,

} r on prendrait pour ordonnée du point B le nombre + “

Fonctions dont les discontinuités JE un ensemble dérombrable E. — Il n’est pas évident qu'on puisse trouver une fonction dont les discontinuités forment un ensemble dénom- Se

brable quelconque.

Ainsi, à un point de vue analogue, on sait que l’ensemble à deux dimensions des singularités d’une fonction analytique au sens de Weïerstrass est un ensemble fermé. Il y aurait donc lieu de se demander si le seul fait d'imposer à une fonction réelle certains points de discontinuité sur l’axe Ox n’entraîne pas à lui seul l'existence d’autres points de discontinuité.

Cependant nous allons montrer qu’on peut considérer un ensemble quelconque E de points sur l’axe O x comme ensemble de points de discontinuité, lorsque cet ensemble E est dénom-

brable. En effet, soient &,, &2, &s, ..., an, ... les abscisses

des points de E. Appelons f(x) la fonction qui est égale à =

pour æ = &, et qui est nulle pour les points 4 qui n’appartiennent pas à E. Cette fonction admet comme points de discontinuité les points de E et ces points seulement. En effet, dans un intervalle (ay —h, an + h) si petit qu'il soit autour de a, il y a des points « (sans quoi E aurait la puissance du continu). Par suite, l'oscillation de f(x) au point a, est certainement supérieure ou

égale à —- Ainsi tous les points a, sont des points de discontinuité; il n’y en a pas d’autres. En effet, soit s un nombre positif donné et‘soit N un entier déterminé supérieur à Si un point & n'appartient pas à E, il est distinct des points à, &2, ..., ay; soit 2h la distance minimum de & à ces points. Tous les points æ compris dans l'intervalle (4 — h, « + h) sont des points de E de rangs supérieurs à N, ou bien n’appartiennent pas à E. Dès lors,

on a

Lf(æ)—f(a)| < € pour |æ— al < h.

Par conséquent, les points qui ne sont pas dans E sont des points de continuité.

Nous allons montrer (!) qu’une fonction f(x) définie dans un intervalle (a, b) et dont l’ensemble E des discontinuités est : |

(1) Voir LEBESGUE, Sur l'approæimation des fonctions (Bulletin des Sciences mathématiques, novembre 1898, p. 278).

dénombrable, peut être représentée par une série de polynomes (qui conver2e uniformément dans tout intervalle intérieur à un intervalle de continuité).

Soient G l’ensemble des points de c(E) qui appartiennent à EF, H l’ensemble des points de c(E)qui n’appartiennent pas à E’. Tout point de Hest situé dans un intervalle de continuité; soit (re k") le.plus grand possible (les points k', £" appartiennent à E ou E’) (p: 7). Les points de G ne sont dans aucun intervalle de continuité. Observons maintenant que les intervalles (Æ!, 4’) n'ont pas de parties communes, il y en a donc un ensemble dénombrable (p- 7). Par suite les points qui appartiennent à E et les points #!, K!' forment un ensemble dénombrable € : €,, co, C3, ++, En += Pour démontrer le théorème, il nous suffira de déterminer une fonction f(x, nr) qui tende vers f(x) lorsque » croît indéfinimentet- : cela uniformément dans Lout intervalle de continuité. Dans ce but, considérons dans la suite des » abscisses ci, C2, :-., Cn, deux points Cp, Ce, consécutifs sur l’axe Ox. Les points Cp, Ce ne peuvent être, ni l’un, ni l’autre, intérieurs au sens étroil à un intervalle (#', ”). Par suite, s’il y a entre c, et ce un point d’un intervalle (k', k"), cet intervalle est contenu tout entier (au sens large) dans Ch; Ces | Alors deux cas pourront se présenter : 1° il y a entre Ch el Ce, séro ou plusieurs intervalles (k', k'); nous prendrons pour arc de la courbe y = f(x, r) compris entre les abscisses €h el Ce, la «4 droite C, Ce en désignant en général par M le point de coordon- | nées : m, f(m); 2°il y a entre c, et ce un seul intervalle (X', &'); | soit alors (4°, À") un intervalle compris dans k'Æ” et tel que

AR La d WT

La fonction f(x)!est certainement continue dans lintervalle , (k,,k%), extrémités comprises. Nous prendrons pour la courbe y = f(x, n), Parc de courbe continu de 7 = (x) compris entre K' et K° et nous joindrons C, à K', C« à K° par des droites Si maintenant on suppose que f(x) n’est pas finie, elle ma de valeurs infinies que pour des points d’abscisses (AR HR Alors, dans la construction précédente, nous préndees pour De point C,, le point d'abscisse c,, et d'ordonnée + n [suivant que. Das 4S ù

f(c,)= Eu]. La courbe y = f(x, n), ainsi définie, est continue quel que soit n. Je dis qu’elle tend vers f(x). En effet, f(cp, n) est égal à f(c)) pour pZ?n, ou croît indéfiniment si f(c») est infini. De même, considérons un intervalle (k', k"); ses extrémités sont deux points cy, cr. Par suite, pour »>getn>r, f(æ, n) coïncide avec f(x) dans l’intervalle £°Æ%; si l’on considère une abscisse æ comprise entre ’ et £”, on aura f(x) — f(x, n) lorsque » est supérieur aux quatre nombres :q,r, a RNCS æ—k kK'— >

Donc, f(x, n) tend vers f(x) dans tout intérvalle de continuité, et cela uniformément dans tout intervalle fixe intérieur au sens étroit à cet intervalle de continuité.

Restent enfin les points de continuité appartenant à G; soit a l’abscisse de l’un d'eux, c’est la limite de certains points Cn- Comme f(x) et f(x, n) sont continus pour x — 4, on peut déterminer € de façon que l’on ait

Ie) faN<S «€ Lfanr)-ftanl<;:

pour |x —a|<e.

Or, quel que soit n, il y a des points c, dans l'intervalle | (a —e, x +e) et d'indice aussi grand que l’on veut, en particulier ' d'indice plus grand que », soit c,, l’un d’eux. Puisque Pa >n,ona

J(Cpr) = f(Cpns n);

et comme |c,,— &|<Te, on aura