MOAIOIES RICO ES ICE

La) —f(e n)1< 2e

Ainsi, f(æ, n) tend vers f(x) même aux points de l’ensemble G.

Voici une autre démonstration, due à M. Lebesgue :

SOI CORNE ee 7 UN AE E de valeurs de x partout dense et contenant les valeurs de discontinuités. Rangeons par ordre de piandeur les n premières valeurs de celte suite, on obtient ainsi la

Désignons par f(x, n) la fonction continue de x égale à f(x) pour chacune des valeurs de S et qui varie linéairement quand x varie entre deux valeurs de cette suite.

Je dis que, quand n croît indéfiniment, f(x, n) tend vers f(x). Cela est évident si x appartient à E. S'il n’en est pas ainsi, x est compris entre deux nombres de la suite 5, Chr Cys et JT E)IeRt comprise entire

"f(cs,) et f(ey,).

Mais f(x) est continue au point x, puisque + n'appartient pas à E, donc, cg, et c,, tendant vers æ car E est partout dense, f(cg,) et f(c,,) tendent vers f(x), el il en est de même de f(x, n).

Il est d’ailleurs évident que la convergence est uniforme dans tout intervalle de continuité ; mais il faut des précautions supplémentaires pour que la convergence soit absolue.

- Enfin, on peut remarquer que si E a servi à définir les po-

lynomes P,,, de la page 80, la fonction considérée admet le déve-:

loppement Il, + (11, —11,) +..., indiqué à cet endroit.

Théorème général de M. Baïre. — Les méthodes précédentes nous donnent le moyen d'exprimer certaines fonctions discontinues sous forme de série de polynomes. Il serait très intéressant de déterminer, a priori, toutes les fonctions auxquelles il y a lieu d'étendre ces méthodes.

La solution complète de ce problème a été obtenue par M. Baire (!). Nous n’exposerons pas sa démonstration qui nous

entraînerait trop loin; mas, pour énoncer le résultat, il nous faut définir la continuité relativement à un ensemble. |

Considérons une fonction f(x) définie en tous les points d’un ensemble linéaire E, et soit x, un point quels de E. Nous dirons que f(x) est continue en Zi RELATIVEMENT A L'ENSEMBLE E, si l'on peut faire correspondre à tout nombre positif un nombre « tel que l’on ait

pour tous les points x pe L'ensemsie E qui sont compris dans

ne LE

(!) Voir BAIRE, Sur les fonctions de variables réelles. Thèse st en mars 1899.

l'intervalle (x5—%, y + «). (En particulier si E est l’ensemble des points d’un intervalle, la continuité par rapport à E est la continuité au sens ordinaire.)

Mais cette définition ne peut correspondre à une propriété de f(x) en zo que si (aussi petit que soit +) il existe toujours au moins un point de E autre que x, dans l'intervalle (x, — 0, x, + «),

c’est-à-dire si tout point de l’ensemble est point Ans Il faudra même se restreindre au cas où E est un ensemble parfait si l’on veut que la continuité en tous les points de E entraine la continuité uniforme dans E. Supposons donc E parfait; au voisinage d’un point deE,ilya toujours une infinité d’autres points de E. Si, au voisinage de tout point de E, il y a des points de E où la fonction est continue relativement à E, nous dirons que la fonction est ponctuellement discontinue relativement à l’ensemble parfait E.

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème général de M. Baire : La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction uniforme puisse être représentée par une série de polynomes est que cette fonction soit ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait (*).

D'après la remarque que nous avons faite (p. 65), c'est aussi la condition nécessaire et suffisante pour qu’on puisse considérer la fonction comme limite de fonctions continues (?).

Admettons ce théorème. Il va nous permettre de donner un exemple d’une fonction qui n’est pas limite de fonctions continues. Il suffit de considérer la fonction f(x) définie entre o et 1, qui est égale à o pour les abscisses rationnelles et à 1 pour les autres. Si l’on considère en particulier l’ensemble linéaire parfait E constitué par tous les points de l'intervalle (0, 1), il est manifeste que tous les points E seront des points de discontinuité relativement à E. Par suite, la fonction n’est pas ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait.

Classification de M. Baire. — M. Baire a proposé une classification des fonctions au point de vue qui nous occupe. Il appelle à f

(:) La démonstration de ce théorème est développée par M. Henri Lebesgue : CR la Note II.

"TOR ÉMILE BokEL, Méthodes et problèmes de la théorie des fonctions, pe. 6 à 11 (Gauthier-Villars).

fonctions de classe o toutes les fonctions continues. Il appelle ensuite fonctions de classe 1 toutes les fonctions discontinues qui sont limites de fonctions continues. Nous en avons trouvé des exemples à propos de la convergence des séries. Toutes les fonctions qui ont une infinité dénombrable de discontinuités sont des fonctions de première classe. Le théorème de Baire nous apprend même à quelles conditions une fonction discontinue est de première classe.

De même, on appellera fonctions de seconde classe toutes les fonctions qui sont limites de fonctions de première classe sans être de classe o ou 1. Telle est la fonction f(x) que nous avons définie au paragraphe précédent où nous avons montré qu’elle n’est pas de première classe. Elle est bien d’ailleurs limite de fonctions f,(x) de première classe. Il suffit de prendre pour f,(x) une fonction égale à 1 entre o et 1 sauf pour les points d’abs-

cisses A (avec p£q£n), lesquels sont en nombre limité et où l’on

suppose f,(x) = 0. Plus généralement, on appellera fonction de classe n, toute

limite de fonctions de classe 7 —1, qui n'appartient à aucune des classes 0, 1, 2, ..., 2 — 1. Enfin, on peut définir des fonctions de classe w, &+1, ..., w?, ..., 6%, ... en désignant par ces symboles les divers nombres transfinis de M, Cantor; mais nous n’y insistons pas.

Les théorèmes que nous avons obtenus nous permettent d’affirmer que les fonctions de classe o ou 1 sont les seules qui soient représentables par desiséries de polynomes.

Mais, d’après la définition même des fonctions de seconde classe, on pourra les représenter par des séries doubles de

rapport 419, puis par NRA à &, sans qu’on puisse réduire cette “e + p 4 L LS

série double à une série Hp Et cette propriété caractérise les fonctions de seconde classe. Plus généralement, une fonction.

de classe n sera représentable par une série multiple d’ordren de

dont tous les termes sont des polynomes.