Séries génératrices. — Considérons une fonction ana
lytique f(t) holomorphe (!) pour {= 0, et soit : (1) f(t)= a+ ait+ ati+...+antr+...
la série de Mac-Laurin qui la définit pour £ voisin de zéro. Considérons, d’autre part, un développement de la forme
(2) Lo(do)+ Pi(do, Mi)+... + Pr(Qo, di, .-. An)+...
où chaque terme v, est une fonction entière donnée de do) &i, ... an. Je conviens de dire qu’un tel développement est une série génératrice s'il converge et représente f(1), quelle que soit la fonction f(t), sous la seule condition que f(£) soit holomorphe pour é réel, positif et inférieur ou égal à 1.
La série génératrice (2) sera dite normale si chaque terme On de (2) est linéaire et homogène en &5, &i, ..., &n.
2. Étoile d’holomorphie. — Admettons, pour un instant, que nous connaissions une série génératrice (2); z désignant une quantité complexe, introduisons la fonction f(t)=/f(zt) et
appliquons à cette fonction le développement (2). La série de Mac-Laurin qui représente f,(t) est
(3) fitt) = aotaist+...+anstit+...,
(*) Cette fonction peut être une branche ( bien déterminée pour é voisin de zéro) d’une fonction multiforme.
ve
102 NOTE DE M. PAINLEVE.
et le développement (2) correspondant est
(4) Do(do)+ Di Go, AZ) +... On (A0, %13, ..., An )+.. Donnons à 3 une valeur invariable z, : ce développement (4) converge et représente. f,(1)—f(z0), si la fonction f,(t) ou f(&ot) est holomorphe quand t croît par valeurs réelles de o à 5 (limites comprises). Interprétons cette condition.
Soit P l’affixe du point 3, dans le plan complexe : quand # croît par valeurs réelles de o à r, le point complexe 5,4 décrit le segment de droite OP. Pour que fi(t) soit holomorphe. pour o£t£ x, él faut et il suffit que la fonction (ou branche de fonction) f(z) soit prolongeable régulièrement, à partir de O, le long de OP, jusqu'au point P inclusivement. Appelons A l’ensemble de tous les points P tels que cette condition soit remplie : les points du plan exclus de À forment des demi-droites ayant pour origines les points y tels que la fonction f(3) soit prolongeable régulièrement le long de O x jusqu’au point u exclusi-
vement,; ces demi-droites s’obtiennent en continuant, au delà
de chaque point y, la direction Ox.
Adoptant la terminologie de M. Mittag-Leffler (un peu modifiée), j'appellerai le domaine A l'étoile d’holomorphie (1), de centre O, attachée à la branche de fonction f(z). Les PORRE pe seront les sommets de l'étoile.
(1) Quand la fonction f(z) n’admet, dans tout le plan, qu’un nombre fini de points singuliers, l'étoile comprend tout le plan sauf ua nombre fini de demi-droites. Quand f(z) est uniforme, mais n’existe que dans une aire limitée du plan, l'étoile fait sûrement partie de cette aire. Mais l’étoile peut être tout entière à distance finie sans que la fonction f(z) présente de lignes singulières. Par exemple, considérons un ensemble parfait discontinu (E) de points situés sur l’axe OË entre « et 2, et soit n = g(£) une fonction continue croissante qui prend toutes les valeurs de o à 1 (limites comprises), quand E coïncide avéc un point arbitraire de (E), Posons
3 = E(cos2nn +isin2rn); à
à chaque point E, de (E) correspond un point z, du plan 3; les points z, forment un ensemble parfait (E,) qui, nulle part, n’est continu. D’autre part, il est facile de construire une fonction f(z), uniforme dans tout le plan, et dont l’ensemble des singularités coïncide avec l’ensemble ( E, ). Cette fonction uniforme ne présente
aucune ligne singulière; néanmoins, l'étoile A (qui comprend à son intérieur le 5 ; » q P
cercle de centre o etide rayon 1) est comprise tout entière à l’intérieur du cercle de centre o et de rayon 2; car une droite quelconque issue de l’origine rencontre un point singulier dont la distance à l'origine est au moins égale : fax et au plus égale à 2. x
