TD
La série (4) converge et représente f(:) dans toute l'étoile d’holomorphie A.
Ainsi, pour déduire d’une série génératrice (2) une série qui représente f(z) dans toute l’étoile À, il suffit, dans les termes de la série (2), de remplacer
&:, ..) An;
par
PRÉ TMNTIOT AEUT EE LEE SA En particulier, si la série génératrice (2) est normale, on a (5) Pa(do, 1%, ..., An2) = VoAo+ Vis +... + Vnan2,
les y étant numériques. La série (4) est alors une série de polynomes en 3, dont le (n + 1)'°"e terme est une expression linéaire et homogène en @o, @13, 422°, ..., An%", à Coefficients numériques ; elle converge [quel que soit f(:)] dans toute l’étoile d'holomorphie. Un tel développement sera dit développement de M. Mittag- Le ffler ou développement (M).
3. Étoile d’holomorphie attachée à une fonction de plusieurs variables. — Considérons maintenant une fonction (ou branche de fonction) analytique, f, de plusieurs variables, soit de trois variables 3 = x +iy,u—= x; #iyi,6 = Zi + ya, fonction qui, par hypothèse, est holomorphe pour 3 = 0, u — 0, v — 0. Il nous est loisible de représenter le système de variables (w, ©, #) par un point P de l’espace réel à 6 dimensions OxyæiyitoYo.
Remplaçons (dans f) 3 par zt, u par ut, e par ot, et posons (!):
fitt)=f(at, ut,vt).
Formons, pour cette fonction f,(t), la série génératrice (2); la série de Mac-Laurin qui représente f,(t) est
fo + en Se
(afp æufs+ofo) GP HUF NE im : 1 d ; n |
Fos F2 fus f° désignent les valeurs de f et de ses dérivées par-
(:) On reconnaît là le procédé employé dans la théorie des séries de Taylor
pour passer du cas d’une variable au cas de x variables. FA l
Du:
104 NOTE DE M. PAINLEVE.
tielles pour zs=u—#—=0o, et (zf} + uf} + 0f,)m est la puissance symbolique ni" de (zf? + uf+vf, ). L'expression "x k zfA2 + ufs + of! NCA (6) : + a de = Pr(z, u, v) | L est donc une forme homogène de degré n en 3, u, », dont les coefficients (à des facteurs numériques près) sont les valeurs #s (pour s=u—=v—=0o) des (es dérivées partielles d’ordre R \ AA de D'ETAT F px Are
Pour former la série génératrice (2) qui représente FAO | 1e suffit, dans les termes w, de cette série, de remplacer os Bis.» . à Gny °+e) Par Pos Pis + .Pn\ -.…. La série ainsi Obtenue con- € verge pour 4 = %o, U —= U, 9 = p, et représente AR
f)= = f(%0, Uo, vo),
Ur condition.
Soit P le poiné de Pespace Oxyaiy 2:92 défini par É. ‘à
segment de droite OP (1). Pour Sue A0) soit Ne pour o£t£1, il faut et il suffit que la fonction (ou branche de fonction) f(z, u; 2h soit brolnngeshie régulièrement le se 2
sivement:
Représentons, ici encore, par. AE l’ensemble des pou l’espace Oxyæiyi Z>Y2 pour ÉD cette condition e
(}aGette terminglogi doit être interprétée dans son sens analyt signifie que les coordonnées (x, y, &,, y, &,, ÿ,) du point R E o CARPE D pti T3E) vérifient les équations : To
et que, quand t varie de ° à 1 æ varie de o à my de où PA ... k
“| Lo .#
exclusivement; ces demi-droites s’obtiennent en continuant, au delà de chaque point x, la direction O y.
Nous appellerons le domaine À l'étoile d’holomorphie, de centre ©, attachée à la branche de fonction f(z, u, v); les points jp seront les sommets de l'étoile.
La série (7) po(Po) + Sa (Po, P1) ++: «+ PRÜPor Pas see Pn)+ee. converge et représente f(3, u, v) dans toute l'étoile A. En particulier, si la série génératrice (2) est normale, on a (8) On(Pos Pis +. Pa) = YoPo+ ViPi Te. + VnPn
(les coefficients y étant numériques). Les termes de la série (7) sont alors des polynomes en 3, u, v linéaires et homogènes par rapport aux valeurs (pour 3 = u—=v— 0) des dérivées successives de la fonction f(z, u, v). La série converge, quelle que soit la fonction f, dans toute l'étoile À attachée à f et y représente la fonction. Un tel développement sera dit encore développement de Mittag-Leffler ou développement (M).
Remarque. — Chaque terme +, de la série (7) est, dans ce dernier cas, linéaire et homogène par rapport à Po, Pi, +++, Pa [formes homogènes en 3, w, » de degré 0, 1, ..., n et termes successifs de la série de Mac-Laurin qui définit f(z, u, e)].
Supposons que la fonction (3, u,) vérifie une équation aux dérivées partielles d'ordre k, linéaire et homogène par rapport aux dérivées d'ordre k et à coefficients constants (!). Chaque polynome p, vérilie cette même équation, par suite w,. La fonction f(x, u, ») est alors développée, dans toute l'étoile, en une série de polynomes dont chacun vérifie l'équation aux dérivées partielles.
4. Application au domaine réel. — Ne donnons à z, u, v que des valeurs réelles +, x,, æ2. Le système de valeurs (x, x, x) définit alors un point de l’espace réel (à trois dimensions) Oxx, 2.
(*) La remarque subsiste si les coefficients sont des polynomes homogènes et
de même degré en 3, u, +.
106 NOTE DE M. PAINLEVE.
Les points réels de l'étoile À épuisent tout cet espace Oxæ,æ», exception faite des points situés sur les demi-droites issues des points réels singuliers à de f(x, x,, x:) et qui prolongent Om au delà du point p. D une façon précise, les points 1 (sommets de l’étoile réelle) seront les points réels tels que f(x, æ1, æ2) soit prolongeable régulièrement le long du segment réel O 4 jusqu’au point u exclusivement.
Par exemple, supposons que f(x, æ,, x°) soit une fonction
harmonique de x, xi,æ2, n’admettant dans l’espace réel O x x, 3, comme singularités, que des pôles isolés; un développement (M) de f(x, x1, 2) représentera f dans tout l’espace réel sauf sur les demi-droites issues des pôles et menées en sens inverse de l’origine; les termes du développement seront des polynomes harmoniques:
Mais les considérations précédentes supposent qu’on connaisse une série génératrice, el notamment une série génératrice normale. Toute la difficulté est maintenant de former une telle série.
9. Formation théorique d’une série génératrice normale. — Traçons, dans le plan complexe des #, le segment de l’axe réel compris entre les points £— 0 et t—1, et une courbe fermée C renfermant ce segment à son intérieur. Effectuons la représentation conforme de l’aire de C sur un cercle T du plan des + ayant l’origine pour centre : parmi toutes ces représentations il en
Fig. 2.
existe une (et une seule) telle que le point { — o corresponde au
point + — 0, et le point £—1 au point r—1. Le cercle l, dans ces conditions, a un certain rayon bien déterminé p>1. Soit.
t=b(r) et r—"y(t) la correspondance conforme ainsi choisie.
Considérons maintenant une fonction analytique f(t), holomorphe dans l'aire C (contour compris) et dant le module, par suite, reste inférieur dans C à une quantité fixe H. Si nous rem-
date
plaçons £ par d(r), la fonction f[4(r)] = F(+x) est holomorphe dans le cercle T et son module n’y dépasse pas H. Elle est donc développable, dans F, en série de Mac Laurin,
(9) F(r) = Ao+ Ait + AoT?+,..,+ Antt+...;
en particulier, pour + — 1, cette série converge et représente F(1), c’est-à-dire f(1) (puisque {= 1 pour rt — 1). On a donc
(10) J() = Ao+ Ai+ Aot...+ Ant...,
et le reste de cette série R;, — An,4 + Anja +... est (d’après une H prCp—1)
De plus, les coefficients A5, A,, ..., A, ..., sont linéaires et homogènes par rapport à @ç, 2, -.., &n, ... [coefficients de la série de Mac-Laurin (1) qui définit f(t) pour t voisin de zéro |. En effet, la fonction £ — Y(+) peut se développer ainsi :
formule classique) inférieur à
(ir) ie Hp ir 2e NT. (A4, À, ..., numériques); or, dans la série (1) () St) = a+ ait+ aal?+...,
remplaçons la variable £ par le développement (11) et ordonnons suivant les puissances de +; la nouvelle série ainsi obtenue A
dot Mit + (Àaldi + À? @o)T? +...
doit coïncider avec la série (9), d'où les égalités A = o; Ai = lai, Ao— oi + À? @,
d’une manière générale, À, est une combinaison linéaire et homogène det,,a;, ..., An.
. 6. Ceci posé, donnons-nous une fois pour toutes (dans le plan des £) une suite de courbes fermées C4, C2, ..., Oj, ..., entourant le segment de l’axe réel o —1 et tendant à se réduire à ce segment quand l’entier j croit indéfiniment. On peut répéter sur la représentation conforme de chaque aire C; ce que nous venons de dire au sujet de l’aire C; à chaque valeur de l’entier y __ correspond ainsi un nombre p; > 1 (rayon du cercle l';); remar-
