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108 NOTE DE M. PAINLEVE.
quons immédiatement qu’on peut, pour chaque valeur de j, trouver
. eue I ie Ne ; un entier 7 assez grand pour que Ja quantité PTE : soit infé- JSF
rieure à 3 : soit » — N';la plus petite valeur de » qui satisfait à cette inégalité (!).
Considérons maintenant une fonction quelconque f(t) holomorphe pour o<t<r. Cette fonction est, par suite, holomorphe (et de module moindre qu’une certaine quantité H) dans une aire C (suffisamment aplatie) entourant le segment réel © —1. Formons, pour cette fonction f, le développement analogue à (10) qui correspond à chaque courbe C;.
Dès que 7 dépasse un certain entier k, la courbe C; est intérieure à l’aire C. Le développement correspondant converge donc vers f(1) : arrêtons-le après Le (n + 1)"e terme, il représente f(1) avec une erreur moindre en module que IE c'est-à-dire
1 (Pi moindre que à (si l’on prend » — N;). Désignons par w; le déve-
loppement ainsi limité, c’est-à-dire la somme des x = N; premiers termes du développement (10), qui correspond à C;; cette somme 5; est de la forme
(12) Dj = Ao+ Li, Gi + Mo,j do + .. + Un,j An
(les coefficients numériques dépendant de }, ainsi que lentier n = N;). Enfin convenons de prendre 5, = &o.
Posons maintenant :
(13) $o= 50 = &, F4 Et Ne DOUÉ +.) Pj—=Vj—w;—1; je dis que la série (14) SH Lo+Di+...+v);+...= a+ Ÿ Ciy GES E Vn,j An)
est une série génératrice normale.
° Elle converge (et converge même absolument) vers. fü )
(AS TE serait loisible de remplacer, dans le raisonnement,. — F ; par n'importe = © quelle quantité positive m;, sous la seule condition que la série > m; soit con-
JE vergente .
quel que soit f(£), pourvu que f(t) soit holomorphe pour o£t<1. En effet, la somme des (7 + 1) premiers termes de S n’est autre
chose que w;, et, du moment que f(t) satisfait à la restriction : j H ue ; énoncée, |[f(1)—w;| est < 7? quand 7 dépasse une certaine limite Æ. La série S converge donc vers f{(1) et elle converge 2H :
absolument; car [o;| est < FO dès que 7j > k.
2° Chaque terme +; de S est linéaire et homogène par rapport À @o, &i, +++, An. Il est vrai que l’entier x = N; peut dépasser 7. Mais, en introduisant, entre des termes consécutifs de S, un nombre suffisant de termes nuls (ou se détruisant deux à deux), on peut toujours faire en sorte que le (n + 1)"® terme de la série ne dépende que de &5, &;, .…., an (pour n arbitraire). ‘ La série S est donc une série génératrice normale.
7. Remarque. — Cette série S est bien déterminée par les conventions adoptées, une fois choisie la suite de courbes C;. Mais on peut se donner arbitrairement cette suite de courbes fermées C,,...C;,...,sous la seule restriction qu’elles entourent le segment réel o — 1 ettendent à se réduire à ce segment quand ÿ croît indéfiniment. Il convient évidemment de choisir ces courbes de façon à simplifier autant que possible les termes de la sérieS, c’est-à-dire le développement (10) attaché à chaque courbe C7.
Remarquons de plus que le raisonnement du n° 5 suppose seulement que la fonction £—%(x) soit holomorphe dans le cercle T, s’annule avec =, soit égale à 1 pour 7 — 1, et que t varie à l’intérieur de C (ou sur C) quand + varie dans le cercle T. Il n’est nullement indispensable qu’inversement la fonction + —y(t) soit uniforme et holomorphe dans C. Il sera donc loisible d’attacher à chaque courbe C; une fonction & = 4;(+) répondant seulement aux conditions suivantes :
La fonction £— 4;(+) est holomorphe dans un cercle T; de centre += 0 et de rayon >1; quand + varie dans l';, £ ne sort pas de l’aire C;; enfin 4;(o) — 0, et bj(1)—= 1.
8. Convergence des séries définies par la série génératrice (14). — Soit A! une aire limitée, entièrement comprise dans l'étoile A attachée à (3); la série (M) définie par la série géné-
ratrice (14), à savoir
S)= Y eu(ao A1, te Anse) (15) n—= = dj —+ > (Vin &i13 ETS Vo,n A9 8? +. . + Vn,n En 37), :
ni
absolument convergente dans À, converge uniformément dans A.
En effet, considérons une aire limitée A” entièrement intérieure à À et renfermant À’ à son intérieur. Dans cette aire A”, | f(z)| reste inférieur à une limite fixe H.
D'autre part, la valeur 3,— r5(cosf, + #sinf,) étant donnée, posons 3 — St, el représentons sur le même plan (rapporté aux mêmes axes) les deux variables complexes z et 4. Quand £ varie dans une certaine aire (ou sur une certaine courbe) C, 3 varie dans une aire (ou sur une courbe) semblable, soit C% : pour obtenir C%, on prend l’homothétique de C par rapport à O; ro étant le rapport d’homothétie, et l’on fait tourner cette transformée de l'angle 4, autour de O. Prenons notamment, comme aire C, une aire G;; l'aire C%° renferme à son intérieur le segment o — 3, et se réduit à ce segment si C; se réduit au segment réel o — 1. Lorsque 3, varie dans toute l'aire A', l’aire C? balaie un domaine B;. Si l'aire C; était réduite au segment réel o —4, le domaine B; se réduirait à A/; quand 7 croît indéfiniment, l’aire B; tend donc vers l'aire A, et, par suite, reste intérieure à l'aire A" dès que 7 dépasse une certaine limite k. Pour j > 4, la fonc- L tion fi(t) = f(z0t) a donc son module inférieur à H dans l'aire C;, DE quelle que soit la position du point 3, dans l’aire A’. Le reste R;(z) de la série (15), quand z varie dans À/, est par conséquent moindre
(en module) que à dès que 7 > k. Autrement dit, la série (15)
converge uniformément dans l'aire A’. °C QAR Il est évident que le raisonnement s'étend de lui-même aux fonts AE, tions de plusieurs variables, d’où ce théorème : He
Les séries (M) déduites de la série féner eue (14) cün ve absolument dans toute l’étoile À attachée à f, et uniformément dans tout domaine À! entièrement intérieur à AS OT ES quel que soit le nombre des variables dont dépend f.
En vertu d’un théorème classique, ces séries sont, par suite, intégrables et dérivables (‘} terme à terme, indéfiniment, dans toute l'étoile A; on peut répéter sur la convergence des séries intégrées et dérivées ce qu’on vient de dire sur la convergence des séries (M) elles-mêmes.
Il résulte de là que le développement d’une fonction f(z3) suivant une télle série (M) est unique. Précisons ce qu’il fautentendre par là.
D'une manière générale, considérons une série (M), soit
n=® (M) > (hosn &o + Ain 13 +++ Ân,n An 2!) = MY PASSY
n=0 qui converge uniformément dans toute aire limitée intérieure à l'étoile A [cela, quelle que soit la fonction f(3) définie, dans le voisinage de l’origine, par la série entière a+ a, 3 +...].
Remarquons d’abord que les séries numériques
0,0 + Ào,1 + Âo2 +... list ist..., ho,e SE 2,3 = hou + ss convergent toutes vers l’unité. En effet, faisons z — o dans l'éga-
lité f(z) = © P;(z) et les égalités dérivées ; il vient
do = &o(À0,0 + 0,1 + À0,2 +. ..), = di (ii+ A2 + 3 +. .)
Ceci posé, donnons, dans la série (M), aux constantes &s, &,, ... des valeurs quelconques et admettons que la série converge unt-
(:) Soit (M') la série obtenue en dérivant terme à terme une série (M) qui réprésente f(z), et soit (M1) la série qu’on obtiendrait en appliquant directement là f'(z) le développement (M); en général, les deux séries (M') et (M!) sont différentes. Pour qu'elles coïncident quel que soit f(3), il faut : 1° que le (n+1)ère terme P,(z) de la série (M) soit un polynome de degré n,
, P,(2)= do,n 0 + Mine ect nn Gn 375 2° qu'on ait
Ain = À (n—1)? 2 hu = À (m1) RES NX yn = Moine)
Ces conditions de récurrence permettent de se donner arbitrairement les seuls coefficients À5,91 Mot» = +: Mon ++ dont la somme doit être égale à 1. Ces coefficients une fois choisis, les autres À sont déterminés, Peut-on choisir ces coeffi-
cients, de façon que la série SP, (2) soit une série ( M )? Tel est le problème, non
résolu à ma connaissance, auquel revient la question de savoir s’il existe des
£ séries (M) telles que les deux séries (M’) et (M!) coïncident quel que soit f(z).
« Se ,
formément dans une aire comprenant l’origine : sa somme est alors une certaine fonction . holomorphe dans cette aire; soit F(s:)=b5+b,3+b;3?+... le développement de F(:) en série de Mac-Laurin. La Rene que je veux établir, c’est que &5, &y, @2, ... coincident respectivement avec bo, b,, ba, .. et que la série considérée n’est autre, par suite, que la série nor- 7 male (M) attachée à F(2) et convergente dans l’étoile À. Or, c’est
ce qui résulte aussitôt de l'égalité F(z) DE) et des égalités
dérivées, où l’on fait 3 — 0; il vient, en effet,
ï x UN = LE
D = botho,o + o,1 + los +...) = 5, ; k
= < [ Fr bi= (lit het hate.) = a - # " TG US LR AR PR ER EEE | fi AL AE 14 ne %.
En particulier, une telle série (M) ne peut converger unifor=s
mément vers zéro dans'une aire renfermant l’origine sans die, Re toutes les constantes &5, &, &:, ... soient nulles.
Ces remarques ont évidemment leurs analogues dans le cas. de plusieurs variables.
{ 9. Des séries intermédiaires. — Aa à si” fonetie
13308 $ fi(e) = f(at) | ns le développement (10) qui correspond à l'aire C du plan des &” (n° 5); la série ainsi obtenue n’est autre que le développement de Mac-Laurin de F,(r) = /f{[3%(<)], où l’on fait += 1, et elle pe
“ … s'écrire ns. 9
n= 2 d (16) ao + D Œinti3+ kina15?+.. -+Annans"), (les Æ const
JL] '
Cette série converge (pour z donné), et converge Ha Ja fonction F,(+) est holomorphe dans le cercle y de centre + et de rayon 1 PAUL er RE elle diverge, si Fi(
die au et y; cette aire € ER à pr :
son intérieur le point és o, et son contour passe p: 4—=1. Le domaine de convergence, soit D, de la série lors facile à définir : considérons pour chaque al
VERTE r 29 7 Û NN
SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 113 déduite de c (n° 8), aire qui renferme l’origine. Si, dans cette aire c% (contour compris), la branche f(z), prolongée analytiquement à parlir de l’origine, est holomorphe, la série (16) converge (et converge absolument) pour 3 = 3%,; si, à l’intérieur de c%, f(z) présente au moins un point singulier, la série (16) diverge pour 3—%,; si f(z) est holomorphe dans l'aire c*% (contour exclus), il y a doute.
Le domaine D tend vers l'étoile À quand c tend à se réduire au segment réel o — 1, car l’aire c% tend alors à se réduire au segment de droite o — 55.
Dans tous les cas, les points-frontières de D sont des points z,
Fig. 3.
tels que f(z) soit holomorphe dans l'aire c*, mais présente sur le contour de c‘! au moins un point singulier, soit z — €. Marquons dans le plan tous les points singuliers € ainsi obtenus (!) : si 3, est un point frontière de D, il existe au moins un point € tel qu’on
ait (= 7,4 pour une valeur de £ appartenant au contour c. Le
point € étant donné, quelle courbe décrit le point %, — E quand t
parcourt le contour c? C'est le contour c', si c' désigne (fig. 3) le contour obtenu en effectuant, sur le symétrique de € par rap-
port à l’axe réel, une inversion de pôle O et de puissance 1.
(!:) Si la courbe c est convexe, les points & ne sont autres que les sommets de
l'étoile A. Mais quand c n’est pas convexe et quand de plus f(x) n’est pas uni-
orme, certains des points & peuvent être distincts des sommets p de A.
Supposons tracées dans le plan toutes les courbes c*; le contour limite de D est formé entièrement d’arcs de courbes €, par conséquent, d’arcs semblables à c’ ou à des fragments de c!.
Par exemple, si f(3) n’admet dans tout le plan qu’un point singulier 5 — 1, le domaine D est le domaine situé du même côté de c' que l’origine. Si l'aire c était réduite au segment réel o — 1, la courbe c’ se réduirait au segment réel 1 — + co. Si l’aire cest une aire très aplatie (renfermant le segment réel o — 1), la courbe c! se compose d’une partie très voisine de la demi-droite réelle 1 — +00, et d’une partie très éloignée de l'origine (fig. 3).
Le raisonnement du numéro précédent permet de démontrer que la série (16), qui converge absolument dans le domaine D, converge uniformément dans tout domaine D entièrement intérieur à D.
Ces considérations s'étendent d’elles-mêmes aux fonctions de
plusieurs variables.
