Formation explicite d’une série génératrice normale

Nous allons former, d’après la méthode précédente, un exemple |

explicite de série génératrice normale. On sait que la fonction t— log représente (!) le demi-plan des + (situé à droite de l'axe imaginaire) sur une bande du plan des £ comprise entre deux parallèles à l'axe réel, tracées au-dessus et au-dessous de cet axe

à la distance =. La fonction t— alogr (x constante réelle posi-

tive ou négative, voisine de zéro) représente le même demi-plan sur une bande B du plan des t, de largeur [x|r, qui admet encore l’axe réel comme diamètre. Enfin, remplaçons, sous le signe log, la variable + par (fr + b), $ et db désignant des con-

stantes Re : le demi-plan IT des + d’abscisses pie grandes , ue

que — > 3 (Si Bo), ou d’abscisses plus pue que — = g (Si B<o),

est NET sur la bande B du plan des 4. On Re disposer 4, des constantes , b, de eue que le cercle [+ [< 1 ou y fasse partie 4

du demi-plan If, et qu'aux points r—0 et r— 1 correspondent

respectivement (és points 4—0 et t— 1. Il fautet il suffit Poe

(*) Il s’agit, bien entendu, de la branche du logarithme (bien déterminée dans le demi-plan considéré) qui s’annule pour 5 = 1.

cela qu’on ait b=—1…, alog(i+8B)=1, [BI<:1; :

on tire de là 8—e*— 1, et [8] n’est < 1 pour x voisin de zéro que si «.est négatif. En définitive, j'introduis la représentation suivante (où je mets en évidence le signe des constantes)

(17) , t—=— alog(r — fr), avec B—r1—e «

(x constante positive).

La branche considérée du logarithme (celle qui s’annule pour r— 0) est bien déterminée et holomorphe dans le demiplan If, et en particulier dans le cercle y.

Quel est le domaine c du plan des £ qui correspond au cercle y?

Tout d’abord, ce domaine, symétrique par rapport à l'axe réel, est très aplati sur cet axe, puisqu'il fait partie d’une bande de largeur ar qui admet cet axe pour diamètre. Cherchons, d’autre part, ses abscisses maxima et minima : il suffit de chercher le maximum et le minimum de la partie réelle de

— alog(i— fr) = —c [ess + log (3 —+)| $ Étadire le maximum et le minimum du module de ( —:)

quand + varie dans y; si l’on marque ( fig. 4), dans le plan des +,

Fig. 4.

les points Met Q d’affixes + et g’ Ë — + est égal à QM; le maxi-

minima est — xlog(i+f$)= — a lol — ie qui tend vers

zéro avec &. Le domaine tend donc à se réduire au segment.

réel 0 — 1 quand & tend vers zéro. E À Au lieu du cercle y, considérons un cercle concentrique LA tn

peu plus grand, compris encore dans le demi-plan II. Le “ue e. :

deT est compris entre 1e 7 = 1 + —— £ +; posons p=1 +he

LOF a et donnons à } une valeur comprise entre o el 1. Le domaine C,du 14 plan des 4, qui correspond à T sera encore intérieur à la band ù ses abscisses maxima et minima CHF EST An OR âtT= P etse

égales à — wlog(1 + fp).

PR > La quantité log(1 + fp)est inférieure à log2 Li e<

A: LAREUEAE minima est donc supérieure à — «logo. D'aatiés on a : | Sr - Le

logte— 89) = tog(s— fe à) togfe 30 — 0] - =:

l’abscisse maxima — à tog(1 — Ba) est donc égale à à $ |

1—alog(i—BX), sie: mL,

és est comprise entre les deux abscisses — a log et 1 + al

TR les re abscisses — à et 1 + # el entre Le eu.

O—1 “quand œ& tend vers zéro.

X c î . mé

tion f (t), holomorphe 2 de module de que cette fonction est définie par la série de Mac-La

k fie,

& so= ao + ait+ ae. f0)+ Ê

Si n nous remplaçons d ne — à sel

Laurin F(x) = Ao+ Ait AïTit. 4 et l’on a FU) = F(i) = Ao+ A+ Ae..;

de plus, on sait que

[Ao+ Ai+...+ An f(i)]

est moindre que

H Het wa) APT NT Te va 1+-e & Mine HRIESS 2

Calculons explicitement les À, à l’aide de &5, &i, &2, .... Ceci revient à ordonner, suivant les puissances croissantes de +, le second membre de l’expression

F(r) = ay— ajalog(i— fr) +...+(—i)faxaf[log(r —8Br)]é +...

Nous pouvons poser

Doi. (—1}[log'i—t)]f= vé[i+ Ef,, r + Ef,,t+...], APE ; > Ne Mes Ef étant des coefficients numériques que nous calculerons

tout à à l'heure. Le développement de F(+) suivant les puissances croissantes de + s'écrit alors

(18) F(r)=@0+ a aft +... Burn x [ara, +an-ta, Ent +... ki +alaE/,+...+aaE!]+..…

à An= Pr(ara,+ar-las Et 1+...+ata;El+...+aaE!) AL < P" n fln) n—1 1 flu—1) Û D emo) arte fuel fo) +. ,

Hate, FU (o)+...+ 2E4 f'(o)}

les € désignant d’autres eféciente numériques [ qui se: déduisent des E par la formule €%Ÿ=— n(n — 1) (n— 7 +1)E, ra] Bi. pa PME Le paue un instant, on prend comme fonc-

;> le développement (18) s'applique

(pour |r| suffisamment petit), et l’on peut écrire

1+alog(i—7)

=SI+AT—r. : !

te br + er Lea P (nie Las 5:

+ l'Ehal+...+Ela]+...…