IS [1 . L

: sur /, et de rayon + : on peut dans la série (MA) prendre un

nombre de termes assez grand pour que la somme de ces termes, Ë FAR > . H

soit gn(z), diffère de /(3) d’une quantité moindre que =; sous la

seule condition que la fonction f(z), d'ailleurs quelconque, soit holomorphe et de module inférieur à H dans d°. Ceci posé, je dis quelasérie:q;+(g2—q1)+(qs—4q2) +... est une série (M): Ne. en peser soit zun point de l'étoile AL et B une aire renfermant à

une certaine limite #, le chemin /? et l'aire dz correspondante, étant M ; : H

x 2 LA à à , æ ; très voisins de LZ, sont intérieurs à B; et l'on a |f(z) — qa(2)| <<

La série : gi +(g»— qi) +(gs— qg2)+... converge donc absolument dans l'étoile A! vers f(z) [c'est-à-dire vers la branche de f(z) prolongée le long de L7].

Il résulte aussitôt du raisonnement qu’elle converge uniformément dans toute aire intérieure à cette étoile. C. Q. F. D.

Par exemple, prenons pour L la spirale logarithmique p =e/v (p et w coordonnées polaires de t= uw + iv; h const. > 0). Pour & — 0, p est égal à 1; pour & — — , p est nul; l’origine est un

point asymptotique. Nous poserons :

t int@-1) l=u+ ip ——— (enË-1n—e-r)e À ; 1—e#

quand À croît de o à 1, par valeurs réelles, + décrit un arc de spi=

rale /, du point £ —0 au point {—1; cette spirale /,, qui est Q 4 CAF AE ‘1 L.

définie par l'égalité : £ + 5 — eh) els, est une spirale A . ù È — en semblable à L, ayant comme point asymptote le point t = sr et qui tend vers L quand n croît indéfiniment. » L'étoile A! qui correspond à la spirale L est intéressante parce que deux lignes frontières de l’étoile ne se coupent jamais, et cela quelles que soient les singularités de f(z). La spirale L (en particulier la droite o — 1) est la seule courbe qui réponde à cette con-

dition (!). £ “4

29. Indiquons rapidement une autre généralisation; Partons de l'égalité 3 — p(30, {)

(!) En effet, soit L'la transformée de L dans la substitution t = a les courbes ; < 1 À | EVER L'= (qui dépendent des deux paramètres réels æ, y, si z = æ+iy) se coupent …

et par chaque point de l’éspace il en passe une infinité, à moins que toutes les 52, courbes L'* passant par un point arbitraire P ne se confondent. Pour qu'il en 2p soit ainsi, il faut et il suffit que la courbe L’ admette une transformation con- [TAN tinue en elle-même de l'espèce : p, = Xp, w, = w + À. Or les seules courbes jouissant de cette propriété sont des spirales logarithmiques de foyer O (en particulier les cercles de centre O et les droites issues de O ); les inverses de ces courbes sont re: des courbes de même espèce. Les cercles sont à écarter puisque L doit passer par 5“ l’origine. AN

où p désigne une fonction entière de 3, et une fonction holomorphe de & pour £ réel et compris entre o et 1 (o£#4£1); de plus, cette fonction s’annule avec t et est égale à 3, pour £— 1. Quand £ croît de o à 1, z décrit une courbe bien déterminée, soit L,,, de o à zo. Par exemple, soit p —1t[30+(t—1)25] : la courbe ,, est une parabole facile à définir géométriquement.

Introduisons maintenant la fonction F(t) = f(:) = f{b(20, t)|; si f(z) est holomorphe le long du chemin /., (extrémités comprises), F(£) est holomorphe dans l'intervalle o£4£1, et F(1) ou f(%0) est représentée par la série génératrice normale S du n° 12 (ou par toute autre); posons encore | F(t)= ao+at+ast+...; on a a, 0(3, 1) = t1p}(z, 0) + = pes, 0)+...—= tp1(3) + Epea(z)+...,

les p;(z) désignant des fonctions entières de 3 (des polynomes si p est un one en z). D’où FTP (30 t)] = ao+ ip + asp?+...

x A = Go+ dp1(3o)t + (aps + asp?) +..., c'est-à-dire

di dpi so), Ay = diP2(20) + a2:P?(20), 3

d’une façon générale, a, est une combinaison linéaire et homogène de @&, ..., &n, dont les coefficients sont des fonctions entières connues de £,. Il suffit de remplacer les a/, par ces expressions dans la série S pour obtenir une série de la forme

(30) do + (n) Ta ri,n(Zo) ne arr n(30) +... + GnTn,n(%o)];

où les r sont des fonctions entières connues de Z,; cette série converge vers f(2) si (3) est holomorphe le long du chemin Z,.. Les points exclus de cette nouvelle étoile de convergence sont donc les points € tels que sur le chemin 4 on rencontre une singularité de la fonction f(z) prolongée.

Il serait aisé d'étendre ces résultats (convenablement modifiés) au cas où la fonction p(z, t) ne serait pas entière en z. Je veux seulement indiquer ici un problème qui se pose à ce sujet : à

. chaque point z du plan des 3, attachons un chemin bien déter- 4 = L 0 J n , . .

miné /, allant de l’origine à 3 et qui varie d’une façon continue

avec 3. Existe-t-il une série répondant aux conditions suivantes : 1° son ni" terme est linéaire et homogène en &,, ai, -.., an, les coefficients étant des fonclions connues de 3; 2° elle converge vers f(:) [quelle que soit la fonction f(:)] pourvu que sur le chemin {, la fonction f(z) soit prolongeable régulièrement jusqu’au point 3 inclusivement ?

D'après ce qui précède, on peut choisir des chemins /, tels que la réponse soit affirmative. Mais peut-on les choisir arbitraire . ment ou, sinon, quelles conditions doivent-ils remplir? Ce sont là des questions non encore résolues.

23. Application aux fonctions réelles. — Restreignons-nous, pour un instant, aux valeurs réelles x de la variable. Quand nous développons f(x) en série (M’), la série converge si f(z) est holomorphe le long du chemin }, et représente la valeur de f avec laquelle on arrive en x en prolongeant analytiquement f(x) (à partir de 3 — 0) le long de £z.

Imaginons, plus généralement, qu'à chaque point x, on fasse . correspondre un chemin l(xs) joignant x, à l’origine, chemin qui soit analytique et régulier (extrémités comprises) pour chaque valeur de xs, et qui varie avec x, d'une façon ana lytique et régulière (*). Autrement dit, soient s l’arc de ce chemin compté à partir de O vers æo, et s(x,) sa longueur totale; les coor- < données +, y d’un point du chemin sont des fonctions holomorphes de s et de x, pour tout couple s, æ, tel qu’on ait o£s£c(æ}; s(æ,) est une fonction A AE pour toutes les valeurs réelles

de x, et, si l’on pose —— e Le = t, x et y sont des fonctions holomorphes de # et de æo, quel que soit æ,, pour o£t£1. Il suffit bte alors de poser a 4

æ + iy = (To, 2)

AR An le chemin /(2,) sous la condition qu’il soit continu et varie a! dune manière continue.

choisie de chemins {(æ); ce sont des combinaisons entières de

Pe( To 0), PACA (6) RME

morphes pour x réel : cette série converge si, le long de l(xs), f(x) est holomorphe, et elle représente la ie de f prolongée jusqu’en x, sur ce chemin.

24. Supposons notamment que la fonction f(z) soit uniforme et ait toutes ses singularités réelles; chaque série (M!) représentera f(x) pour toutes les valeurs de x (les valeurs singulières exceptées), et elle sera dérivable terme à terme indéfini ment : la série et les séries dérivées convergent uniformément sur tout segment de l'axe réel qui ne comprend pas de point singulier.

Si la fonction, toujours uniforme, est holomorphe dans un certain angle OA et dans l’angle prolongé, il suffit de prendre comme chemin / un arc intérieur à cet angle pour que la série (M!) correspondante jouisse encore des propriétés énoncées.

Quand la fonction f(z) n’est plus uniforme, distinguons les valeurs de f(3) à droite et à gauche de la demi-droite O x. Considérons un petit angle positif x OA et prolongeons f(z) dans ce petit angle : nous dirons que nous étudions f(3) à droite de Ox, et nous représenterons par fa(z) la fonction ainsi prolongée (fonction en général multiforme). Le point P étant donné sur Ox,

décrivons de O comme centre un cercle de rayon OP; si Jfa(z) est uniforme (ou holomorphe) à l'intérieur de ce cercle et de l'angle xOA (pris suffisamment petit), nous convenons de dire que f(3) est uniforme (ou holomorphe) à droite de O x jusqu'au point P; dans ce cas, la valeur de f4(2) est bien déterminée en tout point x de OP [non singulier pour fa(z)]: c’est, Par définition, la valeur de f du côté droit de Ox.

Les valeurs de f à gauche de Oz, soit f£(z), se définissent de la même manière en considérant un petit angle xOB négatif (*). Remarquons que si la fonction f4(3) est uniforme à droite de OP, et ne présente sur OP que des points singuliers isolés non crttiques, fa(z) coïncide sur OP avec f(z). Au contraire, il peut arriver que f4(5) ne présente sur OP d’autres singularités que des

k ()J1 est évident que ces définitions s'appliquent d’elles-mêmes à une demi- droite quelconque issue de l’origine, et en particulier à l’axe réel négatif.

points critiques algébriques, tandis que f,(3) présente sur OP des singularités transcendantes (!).

J'ai insisté sur cette terminologie parce qu’elle nous servira plus loin. Admettons maintenant que f(z) soit holomorphe dans un certain angle positif + OA : la série (M!) représentera f(x) en tout point z non singulier pour f4(x), du moment que l’arc / aura été choisi intérieur à l’angle æOA. Soit [' le chemin symétrique de À par rapport à Oz, et (M?) la série conjuguée de (M!) (n° 18): la série (M?) représente f,(x), si f(z) est holomorphe dans l’angle zOB (symétrique de æOA).

25. Considérons en particulier une fonction f(z) qui n'ait d’autre point singulier que le point 3 — 1 autour duquel deux valeurs seulement de f(z) se permutent. Les séries (M!) et (M!) convergent sur l’axe O x sauf pour x — 1 et représentent respecti-

vement fa(x) et f(x).

Si l’on ajoute terme à terme les deux séries (M!) et (M”}), multi-