Pre À la nouvelle série (N°) HP PE SIENS) ) pour TT

nr D cr)

pliées respectivement par représente f(x) pour x < 1 et

Faisons notamment a — b; la série Sax) + fe(z)

représente f(x)

pour x <1 et pour æ>1; comme f(3) n'a que deux branches, soit f et f, f+f\ est une fonction uniforme F(z)

L Sata) + fer) F(x) 2 2 représente donc une fonction à-deux branches pour x < 1 et une fonction uniforme pour x > 1. Remarquons que si f(x) est réelle (pour + voisin de 0), &o, @i, @2, ... sont réels et la série

n’est autre chose que ; la nouvelle série …

(M!) + (M!) a ses termes réels pour z réel. " 19 D RCE Cut) UN) : PS DA ANENEE C’est ainsi que la série » appliquée à Vi— x; repré io sente Vi —x A SO RE GAY

LE? ne

1 ! * Le

F : 4 ue 0

(:) Exemple : ft )= et VITE (où + Vi 3 =1 pour 3 =0); sur Oz, la e A:

branche f,(z) n’a qu’un point singulier (point critique slsérques pro tandis que f,(:) a en outre un point essentiel z = 2. |

Les séries (M?), (M), (N°) convergent ici uniformément et absolument sur tout segment de l’axe réel qui ne renferme pas æ — 1, etilen est de même pour les séries dérivées. Appelons G(x) la fonction définie pour x quelconque (:£1) par la série N!(x). La fonction G(x) a des dérivées de tout ordre sauf pour x — 1. Formons, pour cette fonction, la série (N°), mais en prenant xs comme origine (voir la note (1), p. 125). Si x$ << 1, G(x) coïncide avec f(x) pour æ voisin de x, et la nouvelle série N° (d’origine &,) représente, comme la première, la fonction G(x) tout le long de l’axe des x (le point x —1 étant toujours excepté). Si afa(z)+ bfe(x)

a+ b la série (M!’), d’origine xs, représente G(x) pour x >1,etGi(x) pour æ<1, G;(x) désignant la valeur obtenue en prolongeant -G(x) de x > 1 à x <1 au-dessous de l’axe des x. Or, quand on prolonge f(x) de x << 1 à x, > 1 au-dessus de Ox, on arrive en x, avec la valeur f4(xo); si, partant de x, avec cette valeur, on chemine au-dessous de l’axe des x,.on revient en x <1 avec la

æo>1, G(x) coïncide (pour x voisin de x,) avec

valeur f,(x). Il suit de là que G,(x) = Hs eR et que les sé-

ries (M’), (M”), d’origine xs > 1, représentent respectivement

cher, ER pour æ 1; la série (N°) d’origine xo > 1 repré-

a(af,+bf)+b(af +bf;) (a+):

expression diffère en général de f(x). Mais peut-on choisir a et b de façon qu’elle coïncide avec f(x), quelle que soit la fonction f (à deux branches)? Il faut et il suffit pour cela qu'on ait : a+ b— 0, 2ab—(a+ b}, c'est-à-dire b — + ia. Représentons par (N°) la combinaison (M!)+ :(M!'); la série (N!) jouit, d’après ce qui précède, des propriétés suivantes : elle converge quel que soit x, sauf pour x = 1, et elle converge absolument et uniformément, ainsi que les séries dérivées, sur tout segment de l’axe réel qui ne renferme pas le point x —1; sa fa(x) + ife(t) 1+i pour x >1.Si l’on forme, pour la fonction G(x), la série (Ni), d’origine x 1, cette série jouit de toutes les propriétés de la première et représente comme elle la fonction G(x) tout le long de l’axe des x (le point x =1 étant toujours excepté) : cela,

sente donc pour æ <1. Cette dernière

somme G(x) coïncide avec f(x) pour x <1 et avec

quelle que soit la fonction f(x), pourvu que cette fonction n'ait que deux branches et n’admette que le point singulier x =.

Ce résultat est remarquable, si l’on réfléchit que G(x) coïncide (suivant que x est > 1 où << 1)avec deux fonctions analytiques :différentes (!).

Par exemple; appliquée à f(z)— V1 — 3, la série (N!) représente Vi x pouræ<1,et Var t pouræ > 1.

26. Séries (M) qui convergent sur les droites frontières. — En se servant des séries (M?), on peut former des séries (M) qui convergent non seulement dans l'étoile A, mais encore sur les demi-droites frontières, pourvu que les points singuliers dont ces droites sont issues satisfassent à cerlaines conditions très générales que nous allons préciser. À Considérons, en effet, une série (M!), par exemple la série b du n° 17, qui correspond (2?) à l’arc / de parabole IS

= — hu(u —:1) (R>0o),

compris entre les points { — u + iv — 0 et t—1. La somme S; Se des (7 + 1) premiers termes de la série (1?) diffère de f(z) d’une ; de. : H :

quantité moindre en module que AH si f(s) est holomorphe et r VA :

ex .

de module inférieur à H dans ie d> ( déduite de l'aire d balayée ÿ

par les cercles de rayon 14 — "= dont les centres décrivent t): As

Rex %», £

cela, quelle que soit la constante k, de module moindre | que: FPE

Ceci rappelé, adoptons, pour chaque valeur de l’entier #, une

valeur de À qui tende vers zéro avec a MAS infiniment plus

(1) On peut former des exemples où la série (N4 ) jouit de toutes les propriétés … précédentes et de plus converge absolument et uniformément sur tout segment d&æ l'axe des æ ainsi que les séries dérivées. Mais, pour æ = 1, la fonction G(x) est , nulle ainsi que toutes ses dérivées et la série (N{) d’origine 1, au lieu de res senter G(æx), est identiquement nulle. ‘

(?) On pourrait partir de n’importe quelle série (Mi), sous la seule restrict que le chemin Z ne traverse pas l’axe des æ. Si le chemin / traverse l'axe d À la méthode même du texte permet aisément d’apercevoir les modifications sue apporter aux conclusions das vont suivre.

lentement que x. Posons, par exemple,

- 2 n=+va=|/

(hk étant positif, le chemin / est situé au-dessus de Ox) (!). Quand x croît indéfiniment, l’étoile A! (bien déterminée pour chaque valeur de n) tend vers l'étoile À, et le domaine d° tend à

se réduire au vecteur Oz. D'autre part, pour chaque valeur de n, SA est un polynome en z bien déterminé, de degré n, qui, lorsque n croît indéfiniment, tend vers f(z) pour tout point 3 de À : car dès que x dépasse une certaine limite, d£ différant très peu du vec-

teur Oz, f(z) est holomorphe dans d* et y garde un module inférieur à une quantité fixe H. Au lieu d’un seul point 3, considérons une aire B intérieure à À, et une aire B’ comprenant B à son intérieur, mais intérieure à À : dès que x dépasse une certaine limite g, l’aire d° fait partie de B’, quel que soit z dans B, et l’on a

(31) LfCs) Same EVE pour n> 9, va

en tout point z de B, [H, maximum de f(z) dans B']. D’après cela, la série

(M2) TS Su SE SE re Go + P1(Z) + pr(z) on CU

est une série (M) qui converge absolument dans A et uniformément dans toute aire intérieure à À. Le terme p, est un polynome en z de degré n.

27. Examinons maintenant ce qui se passe sur les demi-droites frontières de A. Soit D une demi-droite exceptionnelle, issue du point singulier € : st ce point est algébrique, je vais montrer que la série (M,) converge absolument sur D au delà du point et représente fa(z), tant qu’on ne rencontre pas sur D un point singulier transcendant de fa(z). Elle converge même uniformément vers fa(z) et est dérivable terme à terme indéfiniment

(:) Si, au lieu de prendre À = + Va, on prenait 4 = — Va, la courbe 4 (correspondant à chaque valeur de n) serait située au-dessous de Oz, et il faudrait, dans tout ce qui suit, remplacer /,(z) par f,(z), valeur de f(3) à gauche de D.

sur tout segment PP/ de D le long duquel f4(3) est holomorphe (extrémités comprises) [ pourvu qu'entre € et P la fonction fa(z) ne présente que des points singuliers algébriques |.

En particulier, si € est un pôle et si D ne renferme pas d'autre point singulier, la série M; converge vers f(z) sur toute la droite D (le point € excepté) et converge uniformément sur tout segment fini PP’ de D (dont € ne fait pas partie).

Pour démontrer ce théorème, plaçons-nous d’abord dans lhypothèse où entre € et P il n’existe pas de point singulier de fa(z).

De O comme centre décrivons un cercle plus petit que le cercle d’holomorphie de f(z); entourons PP' d’une aire assez aplatie pour que fa(z) y soit prolongeable régulièrement (contour compris); enfin relions ces deux aires par une bande aba!b!

Fig. 8.

attenante au bord droit de OP et assez étroite pour faire partie

de l’étoile A. Si, dans l’aire totale E ainsi formée, on prolonge la

fonction f(z), cette branche de fonction, qui coïncide le long de OP avec fa(z) et que je représenterai par fa(z), est, holo- 4 morphe dans E, contour compris, le point € excepté. Eu ce point, x qui est un point algébrique, f4(z) peut devenir infini d’un certain ÿ ordre m (entier ou fractionnaire) : dans l'aire E, |f4(s)| reste FR inférieur à Rte K désignant une certaine constante et m une % quantité positive ou raies hs

D'autre part, soit 3, un point du segment PP’. Pour les petites L

valeurs de À, donc pour les grandes valeurs de », le chemin le dif-

fère très peu du vecteur O9 et fait partie de l’aire E; la distance minima Ô entre un point de { et un point du contour de E tend vers zéro avec h, et est de l’ordre de À pour k infiniment petit; on peut écrire à — ph, x désignant une quantité positive qui dépend de h et de 59, et qui reste supérieure (t) à un nombre fixe À> 0 quels que soient 3, entre P et P' et k entre o et 1. L’aire d est, par suite, intérieure à E, dès que nr dépasse une certaine limite (indépendante de la position de 3 entre P et P') : en effet, les cercles décrits d'un point de {* comme centre, avec 14a|30| comme rayon, sont intérieurs à E dès que 14aOP est moindre que Àh, c’est-à-dire dès que r dépasse un certain entier, puisque h est infiniment grand par rapport à « pour ñ — . Soit g une valeur de n telle qu’on ait 14 ap < À hk (pe = OP), c’est-à-dire

1440 < k Va, ou Va < TS ou enfin logg > 25)

Pour x > q, la fonction f(z) est holomorphe dans l'aire d:;

KR È É son module y est moindre que ——; c’est-à-dire moindre

lz— 6/7

» puisque 3, variant dans d%, reste à une distance

de € supérieure à Àh — 1 4ap 2 : k.

L’inégalité (31) s'applique donc au point z, et donne ici D) LfaCe) = St) TRS * | G) me

, >} LA ‘ . . s L Or À =|/ 7 est inférieure à VA pour n suffisamment

- grand. On a donc, tout le long de PP”,

[fa(z) — Sas) <K (K constante numérique),

FE

dès que n dépasse un certain entier.

(‘) Il serait facile de donner une valeur explicite de À, mais la chose est inutile au raisonnement. Ë

que H dans un cercle de rayon p et de centre %o, | FÜ) (2) est moindre que H:

La série (M:) converge donc absolument et uniformément le long de PP' vers fa(z). C. Qt FD

28. De plus, pour chaque valeur de n, décrivons du point comme centre un cercle c de rayon px (4 constante numérique). Quand 3 reste intérieur à c, le chemin (* reste intérieur au domaine E (au moins dès que n est suffisamment grand) et la distance minima de € à l’arc [* est encore de l’ordre À et supérieure à A (en modifiant un peu, s’il est nécessaire, la constante À introduite plus haut). L’inégalité (32) se trouve done démontrée non seulement pour 4 = z9, mais dans tout le cercle c, d’où l’on déduit, en vertu d’un théorème classique (1) :

:. nr SÉ&0) — SH 20)| < des ARC . 2 CES £ (2)° hmevr er A er.

en tout point 3, de PP', dès que nr dépasse un certain entier.

Les séries obtenues en dérivant terme à terme la série (M2) convergent donc, elles aussi, sur PP’ absolument et uniforméments … elles représentent sur PP’ les dérivées successives de fa(s). DER ee

Si, entre l’origine et le point P, il existe plusieurs points sin= a guliers (tous algébriques) de fa(z), rien n’est changé dans le raisonnement précédent : il suffit de considérer l’ordre maxi-

mum m d’infinitude de f4(z) en ces points singuliers; dans *

l'aire d, | fa(z)| est moindre que He (quel que soit 30 NE ; LE m LATE