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entre P et P'), et les inégalités précédentes subsistent. (ae Fa

D'une façon générale, pour que le raisonnement subsiste, TA suffit : 1° que f(z) soit holomorphe jusqu’en un point Q à droite (?) de D, et 2° qu’en tout point singulier E de fa(s) sur D, on ait *

1 « (33) | fa(z)| < el" (m constante numérique > 0),

pour 2 voisin de & à droite de D.

(:) À savoir ce théorème : Si F(s) est holomorphe et. de module moi

(2) Voir le n° 24. ME

ea =

Soit alors PP’ un segment de D compris entre O et Q et le long duquel fa(3) est holomorphe. Quel que soit 3, entre P et P', la fonction f4(3) (dès que n dépasse une certaine limite) est holo-

morphe et de module moindre que 6) dans l’aire d* qui correspond à chaque valeur de n. Or la quantité

am [21m /logn\?

AA) EUR :) 2 est moindre que n°, dès que n dépasse un certain entier g, en sorte qu’on à

NE | / C0) — Sn (30)| < 2e x ee

e* pour » >> q, le long du segment PP’. Cette inégalité entraîne les mêmes conséquences que ci-dessus.

Remarquons que, sur D, les points singuliers de f4(3) peuvent former des ensembles quelconques, et même comprendre tous les points d’un segment : la seule condition qui leur soit imposée est l'inégalité (33).

En définitive, st la fonction f(3) est holomorphe à droite de D jusqu’en un certain point Q, et si, en chaque point singulier E de fa(z) sur D, l'inégalité (33) est vérifiée, la série (Mà) converge absolument et uniformément vers fa(z) sur tout segment PP! de OQ le long duquel fa(s) est holomorphe; les séries dérivées terme à terme convergent de la même manière sur PP’

L vers les dérivées successives de fa(s).

LE 29. Par exemple, appliquée à la fonction e*! , la série (M2) converge absolument dans tout le plan, sauf 1e ai 1: élle … converge uniformément dans toute aire qui n’a aucun point J commun avec la demi-droite x>1, y —0. Elle converge uni-

formément vers-e*-' sur tout segment fini x,x2 de cette demi-

droite (1 <a, <a). à L Il est impossible que cette dont série converge uniformé- ment sur une courbe traversant la demi-droite exceptionnelle : autrement, on formerait aisément une courbe fermée C entourant le point z—1 et sur laquelle la ne (M:) convergerait unifor- 7: n E;: B. : ge 10

mément. Les termes de cette série (polynomes en z) étant holomorphes dans C et sur C, la série (d’après un théorème classique) convergerait uniformément dans C, et sa somme serait holomorphe dans C. en particulier pour 4 — 1, ce qui est absurde, La remarque s'étend évidemment au développement d’une fonction que ose par la série (M).

Admettons enfin que, f(z) étant toujours holomorphe à droite de OQ, l'inégalité (33) ne soit pas vérifiée, mais qu'on connaisse une limite quelconque du mode de croissance de fa(z) dans le 4 voisinage de chacun des points singuliers Ë situés sur D (entre 0 VA et Q); soit D PANES C4 Ai<e( Er): er | FR

* On peut toujours former une série analogue à (M;) et qui repré = 14 sente fa(z) sur OQ (en dehors des points singuliers) : il suffit, d

dans les raisonnements précédents, de faire décroître À > Ke K ll Ye

tement encore avec =; et de prendre À — ES tel que’(la c

stante g étant arbitraire, mais positive) l’on ait ; \ ‘.ZN TR

elgY(n)1x< Æ <= EE È ex de

Par exemple, si l’on sait qu’on a .

: 1 ; 4 & | fats)T< ect (m const. > 0), DE © ? dans le voisinage de chaque point E, il suffit, comme on le y à s/ . ; a ‘ à { S PE aisément, de prendre X — loga TE Ce

Enfin, tous les résultats obtenus s'étendent d’eux-mêm fonctions de plusieurs variables.

indiqué d’autres séries (M) Hiver alé au delà des EM sé 's i: f(z) qui né sont pas des points de branchement ( points sente de W

30. Quelques applications des résultats précédents. — Ne considérons plus, dans ce qui suit, que des fonctions f(z3) dont les points singuliers à distance finie sont tous algébriques. La série (M,) correspondante convergera dans tout le plan, sauf aux points singuliers, sommets de l'étoile, etreprésentera f4(z) sur les demi-droites D.

Appliquons cette remarque aux équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, et soient 6,, ..., Cxles points singuliers

(3—4)...(3—&x) vient (!) une fonction f(Z) dont le seul point singulier non algébrique est à l'infini, et qui n’a qu’un nombre fini de points critiques algébriques : le développement de f(3) en série (M:) converge donc dans tout le plan sauf aux points singuliers.

Quand, à la série (M, ), on substitue la série conjuguée (M;), qui s’en déduit en changeant partout À en — , la nouvelle série jouit exactement des mêmes propriétés que (M:) à cela près que fa(z) est remplacé partout par f,(3), valeur de f à gauche de D.

Ajoutons ensemble maintenant, terme à terme, les deux séb .

Ab ait on forme ainsi une série (M), qui représente f(z) dans l’étoile A, a fa + bfe.

En particulier, si l’on prend a = b, on obtient une série de la forme

de l'intégrale. Si l’on pose Z — » l'intégrale de-

ries (M,) et (M;), multipliées respectivement par

et qui, sur les demi-droites frontières, représente

& +(n) Ÿ Cine + dons +. + nnanz"),

où les coefficients À sont réels, qui représente f(3) dans l'étoile et la moyenne arithmétique de fa et f; sur les demi-droites D.

Appliquée à Vi—3, cette série représente V1 —x pour x réel et 1 el représente zéro pour æ réel et >r.

. Si l’on retranche terme à terme les deux séries (M;) et (M), on obtient (après division par £) une série de forme entièrement analogue à la précédente, qui représente zéro dans tout le plan, quel que soit f(z), sauf sur les demi-droites D où elle repré-

sente fa — f3-

__ (1) On peut éviter cette transformation en discutant le mode de croissance de l'intégrale dans le voisinage de chaque point singulier &.

148 NOTE DE M. PAINLEVÉ. e ; 31. Parmi les séries (M) de la forme PORTO, ta série (M) +4CMs),

que je désignerai par (M,), est la plus remarquables" rs

2e Appliquons ce développement (M,) à une fonction f(s) qui na: tu sur l’axe réel, d'autre point singulier que le point z= 1, point

algébrique autour duquel deux branches seulement se permutent. PAT La série (M,) jouit alors des propriétés suivantes :

1° Elle converge absolument et uniformément, ainsi que les séries dérivées, sur tout Meta de l’axe de qui ne com- >: (

cet vers Le pour Es à ste le n° 2)

pour æ > 1. Mais, si l’on applique à la fonction G(x) Le a loppement (M;) en prenant x, comme ‘origine, la nous l ; série (M,) jouit des mêmes propriétés et représente la mêm Le. =

fonction G(zx) que la premièresur tout l’axe réel (! he mer: cé Par exemple, appliquée à F(s)=y1=3, [F(o)}= +

série (M;) représente + Vi—zx pour Ti, et

pour æ >1. De | 32. Considérons enfin une fonction harmonique V(æ, y,

domaine intérieur à 1h PUR: elle est dérivable terme à à terme à finiment (sauf aux points Magiliees) et les séries dérivées « 1 mêmes POORIEUSS que la série elle-même.

(*) On peut même former des exemples où la série (M,) jouit de & propriétés énoncées, et de plus converge absolument et uniformémen les séries dérivées, sur tout segment de l’axe réel (le point &=1. RpsNoR réelle G(æx) a donc des dérivées de tout ordre quel que