DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME DE M. BAIRE

Par M. HENRI LEBESGUE.

* On appelle fonctions de classe 1 celles qui peuvent être consi-

: dérées comme les limites de suites convergentes de fonctions con- Motinues., . j

+: Nous dirons qu’une fonction f est, à moins de € près, de classe 1 dans un intervalle I (!) si l’on peut trouver une fonction # de

classe 1 telle que, pour tous les points de I, on ait

Lf—91<e.

Nous dirons qu’une fonction f est, à moins de e près, de classe 1 en un point P s’il existe un intervalle, contenant au sens étroit le | point P, dans que fest, à moins de + s près, de classe 1. Nous dirons qu’une fonction f'est de classe 1 en un point P si,

quel que soit e positif, f'est de classe ra à moins de € près, en P.

Supposons que l’on convienne de s’occuper seulement des va-

leurs de f — ® pour les points d’un ensemble parfait E. Alors les

g définitions précédentes nous font connaître les conditions dans

te lesquelles on dira qu’une fonction est de classe 1, à moins de € 4 près, sur E ou qu’elle est de classe 1 sur E en un point de E.

sh Remarquons encore que si la fonction © de comparaison avait

; été supposée continue dans un intervalle, au lieu d'être supposée

… de classe 1 dans un intervalle, nous aurions eu une définition de

Ja continuité en un point dde d’üne définition de la continuité P

(') Toutes les définitions et tous les raisonnements qui suivent concernent les fonctions d’une seule variable; il suffirait de très légers changements pour les ndre applicables au cas général.

150 NOTE DE M. LEBESGUE.

dans un intervalle (!) supposée antérieurement donnée. D'ailleurs les raisonnements qu’on va lire sont exactement calqués sur une suite de raisonnements permettant dé fonder la théorie des fonctions continues sur la définition de la continuité dans un intervalle, et non pas, comme on le fait le plus souvent, sur la continuité en un point.

I. Toute suite uniformément convergente de fonctions de classe 1 a pour limite une fonction de classe x (?).

Soit fi, fr, ..- une suite uniformément convergente de fonctions de classe 1, f sa limite. Soit e, + e; +... une série convergente de nombres posilifs décroïssants. On peut toujours *f trouver »} tel que, quel que soit q positif, on ait

fn — fnp4q\£ Ep; Fe | je suppose de plus que les nr, croissent avec p. La série J P | P

nt Pns— fn) + (ns — ns)... Ù ; l <ÿr

est convergente et de somme f; ses termes sont de classe 1, car

la différence de deux fonctions de classe 1 est une fonction de classer. 24%

Le pie terme (pZo) est la limite, pour r infini, de la suite de fonctions continues f}. Je dis que, pour p > 0, on peut sup poser que, qu que soit r, on ait |f,|£e). En effet, si les Jr pé =:

FPE satisfont pas à cette inégalité, posons RARSAT FA : NA Era quandona —e,<fh£ep; SERRE \ F5 = —e uand on a PS 5pS Rte PE LE q P= p; ea Ft, quand on a spS fr: TES

Les F”, ont même limite que les f”,, car la limite de ceux-ci ne.

uniformément convergente de polynomes. ’ (2) D’après la définition adoptée les fonctions continues sont des fonct classe 1. Si, comme le fait M. Baire, on excluait de la classe 1 les fonctio tinues, il faudrait, dans cet énoncé et dans les suivants, Femplaoes fon classe 1 par fonction continue ou de classe 1. |

DEMONSTRATION D'UN THEORÈME DE M. BAIRE. 151

surpasse pas «, en valeur absolue, donc é p P p en : on peut remplacer les f”, par les Fe qui satisfont à toutes les conditions indiquées, Les f”, ‘étant choisies comme il vient d’être dit, posons

pr=fo+fi +fi+

La série +, est absolument et uniformément convergente, ses termes sont des fonctions continues, la fonction +, est continue. Mais w, tend vers f, quand r croît, car les p premiers termes de, ont une somme qui tend vers /,, et les suivants ont une somme au plus égale en valeur absolue à e,+e,,+..

Ceci démontre le théorème.

Considérons desintervalles I,,1,, ...,en nombre fini ou dénombrable et des fonctions de classe 1 fi, f2, . .., définies respectivement dans ces intervalles, extrémités y comprises. J’appelle f la fonction égale à f, dans I,, à f: dans la partie de I, extérieure à I,, à fa dans la partie de J, extérieure à I, + L, etc., je dis que f est de classe 1. Soit f,, f, -. -, une suite de fonctions continues tendant vers f,. Par f” je désigne une fonction continue assujettie aux seules conditions d’être “égale à f;, dans I,, à ff; pour les

points de 1; qui sont distants de = au moins de ceux de 1,, à f?

pour les points 1; qui sont distants de - = au moins de ceux de

F2 6 .... f" tend vers f, quand r ARE indéfiniment,

donc f est de classe 1 dans 1, + L +...

Supposons maintenant que v soit, à moins de e près, de classe 1, dans chacun des intervalles [,, 1, .... Cela veut dire qu’on peut trouver les fonctions de classe 1 f,, fr, ..., définies dans I,,

He: el différant de y de moins de &, donc w diffère de la

fonction f, formée comme il vient d’être dit, de moins de € dans [, + [, +..., et par suite v est, à moins de e près, de classe 1 dans til + ..

D'après le théorème de M. Borel, démontré page 9, dire qu’une fonction f est, à moins de e près, de classe 1 en tous les points d’un intervalle Ï, extrémités y comprises, c’est dire que 1 est:la somme d’un nombre fini d’intervalles dans lequel f est de classe 1, à moins de € près. Donc : /

. II. Siune fonction est, à moins de e près, de classe x en tous

152 NÔTE DE M. LEBESGUE. HAE

les points d'un intervalle, elle est, à moins de e près, Fe classe 1 dans cet intervalle.

D'ailleurs, d’après [, une fonction'est de classe.1 dans un Énfens valle si, quel que soit e positif, elle est de classe 1, à moins de e près, dans cet intervalle; car elle est alors la limite d’une suite. uniformément convergente de fonctions de classe 1, donc :

III. Si une Mach est de classe 1 en tous les points d'un intervalle, elle est de classe x dans cet intervalle. FE Ces deux théorèmes sont encore exacts lorsqu'on ne sait rien Lt relativement aux extrémités a et b de l'intervalle considéré. ER | Modifions, en effet, la fonction donnée f en lui donnant he % valeur constante f(a) de — à & et la valeur constante f(b) … - de b à +, elle est alors de classe 1 dans les deux intervalles ML (—e, a) (b, +) &i 224 Si nous supposons qu'elle est de classe 1, à moins de € pr en tous les points intérieurs à (a, b), cela né sera pas changé P

la modification indiquée. Du théorème de M. Borel on déd facilement que l’ensemble des points intérieurs à (a, ya l’ensemble somme d’une infinité dénombrable d’ intervalles da va 5 pics desquels f est, à moins de & près, de classe 1.

cation, à est de classe 1, à moins de €e près; dans (— 0, +o 2 après la modification, f est de classe 1, à moins de € près; avar modification, f était de classe 1, à moins de € près, dans fa c’est la proposition II, d’où l’on déduit la proposition III.

MR Des théorèmes IT et IIL ainsi complétés, il résiiie que 1e -

semble E des points où f n’est pas de classe 1, à moins de & Le pe contient aucun point isolé. Par défifitio f ne peut être de classe 1, à moins de € près, en un point P sans qu’il en soi même pour tous les points assez voisins de P; le SE ES

queË est fermé, par suite : (

= IV. L'ensemble E des points en lesquels une fonction

“ b Le Lil

DEMONSTRATION D'UN THÉORËME DE M. BAIRE. 153

n'est pas de classe 1, à moëns de e près, est un ensemble parfait. Je vais maintenant démontrer la propriété suivante :

V. La fonction f est discontinue sur E en tout point de E(!). Soient [,, [, ..., les intervalles contigus à E; d’après II, f est de classe 1, à moins de e près, dans chacun d'eux. Soit £p une fonction de classe 1 limite, pour r infini, de la suite convergente des fonctions continues”, et différant de f, dans [,, de moins dee. Si f était continue sur E, en un point M de E, la fonction v égale à w, dans I, et à (M) sur E différerait de f de moins de & Ts un certain intervalle contenant M à son intérieur. En M, f n’est pas de classe 1, à moins de « près; il suffira donc de démontrer que v est de classe 1 pour prouver le théorème V. J’appelle 1” l'intervalle ayant même milieu que 1, et tel que

longueur 1, = longueur 15 +

J'appelle &’ une fonction continue assujettie aux seules conditions d’être égale à f” dans [°, à f5 dans 1}, ..., à f; dans I; et à (M) à l'extérieur de 1,+l24+...+1,. © est la limite, pour r infini, de w” ; le théorème est démontré.

J'arrive maintenant au théorème de M. Baire (?).

VI. Pour qu’une fonction soit de classe 1 il faut et'il suffit “ qu’elle soit ponctuellement discontinue sur tout ensemble par- DR fais.

La condition est suffisante. Si f n’est pas de classe 1, f n’est EE pas de classe 1, à moins de e près, si e est assez petit, d’après TI. D'après IL, il existe alors des points où f n’est pas de classe 1, à moins de & près; d’après IV et V l'ensemble E de ces points est