NT & S

parfaitet f est totalement discontinue sur E. 2 La condition est nécessaire (3). Soit f de classe r, limite des

& fonctions continues A, 2; fs .... J'appelle E,,, l’ensemble

; GRR (:) D'une façon plus précise, en aucun point de E, f n’est de classe 1, à moins de e près, sur E. j ;

(2) Voir BaiRE, Comptes rendus, 21 mars 1898 et Thèse, Annali di Matema- æica, 1899; LEBEsauE, Comptes rendus, 27 mars 1899; Baie, Bulletin de la ‘4 Sociëté mathématique de France, 1900.

__ (%) La démonstration qui suit diffère sensiblement de celle de M. Baire, À mais la RPPREE des raisonnements qui y sont ARS lui sont dus. Cette

154 NOTE DE M. LEBESGUE.

fermé des points pour lesquels on a [fn — fhsp|<e. E étant un ensemble parfait quelconque, donné arbitrairement, j'appelle E, l’ensemble des points communs à la fois à E, à E, 4, à Eh 2, . E», étant l’ensemble commun à une infinité dénombrable d’ensembles fermés, est fermé. E est la somme des E, ; je dis que l’on peut prendre n assez grand pour qu'il existe un intervalle I contenant des points de E et tel que tous les points communs à let E appartiennent à E, (!). Si cela n’était pas, dans tout intervalle I contenant des points de E on pourrait, quel que soit n, trouver un point de E n’appartenant pas à E, et, puisque E, est fermé, un intervalle contenant des points de E sans contenir de points de E,. Or soit I, un intervalle contenant des points de E et pas de points de E,, soit I, un intervalle, intérieur à 1,, contenant des points de E et pas de points de E;, etc. On ne peut pas continuer aïnsi indéfiniment, sans cela, à l’intérieur de 1,, L;, ..., existeraitau moins un point de E qui n'appartiendrait ni à E,, ni à E;, ..…. Par suite on peut trouver 1, contenant des points de E, et » de manière que, dans 1, E et E, soient identiques. Dans I, f et fr diffèrent de € au plus; si l’est choisi intérieur à 1, contenant des points de E, et assez petit pour que, dans J’, l’oscillation de ÿ, soit inférieure à e, l'oscillation de f sur E, dans l', est inférieure à 3e.

Ceci posé, I, étant choisi arbitrairement, contenant des points de E, nous pourrons choisir [,, intérieur à [,,, contenant des points de E, et tel que, dans L,, l’oscillation de f sur E soit infé-. rieure à 3 : p. À l’intérieur de tous ces intervalles I, 1, .:.,, existe au moins un point de E; en ce point f esi continue sur E:

En terminant, j'indique une propriété qu’on peut parfois invo=. quer pour démontrer qu’une fonction est de classe 1 (2).