VII. Pour qu'une fonction f soit de classe 1, il faut et AE
Ware suffit que, quel que soit : positif, l'intervalle que l'on considère DS soit la somme d'une infinité dénombrable d ‘ensembles fermés | 2 sur chacun desquels f est continue, à € près. TA
La condition est nécessaire. En effet si, dans la démonstr ù
(*) Ici, et dans la suite, il s'agit de points contenus, au sens étroit, da: intervalles indiqués. à
(2) Pour plus de détails, voir ma Note : Une propriété caractéristique fonctions de classe un (Bulletin de la Societé mathématique de Franoëk 1904, p. 229 à 242).
Er
DÉMONSTRATION D'UN THEORÈME DE M. BAIRE. 155
précédente, E est l'intervalle considéré, cet intervalle est la somme des E, et, sur E,, f et fa diffèrent de € au plus.
: La condition est suffisante. Pour le voir directement supposons que l'intervalle considéré soit la somme des ensembles fermés E, et que, sur E;, f diffère de e au plus de la fonction continue f}. Je prends un ensemble dénombrable D, de points partout dense sur E, en ayant soin d’y faire figurer les extrémités des intervalles contigus à E, (!). Je barre ceux de ces points qui appartiennent à E,+E:+...+E,, et je range les autres en suite simplement infinie, la suite A,(M}, M?, ...); d’ailleurs, si un point M a été barré de D, parce qu’il appartient à E,(n'< n), j'ai eu soin de faire figurer M dans D,
Je vais construire une fonction continue F,. Pour cela je prends le point M}, au moins les p premiers points de A;,, au moins les p premiers points de AÀ,>, et ainsi de suite. Je prends dans chacune de ces suites assez de points pour que, si M£ est pris,
auquel cas, faisant partie de Az, il ne fait pas partie de Ex,, les
deux extrémités de l’intervalle contigu à E4, et contenant M;, qui font partie de l’une des suites Ay,, Ax », ..., A,, soient prises aussi. La fonction continue F, est définie par la condi-
tion d’être linéaire entre deux des points ainsi choisis et, si M;
été choisi, d’être en ce point égale à fx (M{).
Clecchous la limite de F,, quand p augmente indéfiniment. Si R appartient à l’une des suites À, il est évident que F,(R) tend vers f,,(R), no étant le plus petit indice correspondant à un ensemble E, contenant R. Il en est encore de même si R n’appartient à aucune suite À; car, dès que p est assez grand, les deux
. points servant à la définition de F, et contenant entre eux R sont deux points S, T de À. F,(R) est dès lors comprise entre f,,(S)
et fn), quantités qui tendent, quand p augmente, vers f,,(R) ear-/,, est continue et S et T En vers R.
La suite des F, est convergente, sa limite F diffère de la fonc-
* tion f de e au plus, donc f'est, à e près, de classe 1. Puisque € est
quelconque, il résulte de I que f est de classe 1.
(") A cause du rôle joué par les intervalles contigus, cette démonstration ne s'applique pas immédiatement au cas de plusieurs variables.
NOTE III. Piste
SUR L'EXISTENCE DES FONCTIONS DE CLASSE QUELCONQUE. L æ Le Ë Par M. Émize Bone. RTE
On peut se demander si la classification de M. Baire n’est pas. \ |. purement idéale, c’est-à-dire s’il existe effectivement des Rae ñ
üons dans Rs NO classes définies par M. Baire. Il est clair nr
me DAS
aisé de voir qu'il existe des fonctions de classe supérieure à | nombre quelconque (fini ou transfini) donné d’avance; cl \ Ni . sémble E des fonctions dont la classe ne dépasse pas un nomb Fr , donné a évidemment la puissance du continu; et l’ensemble F £ de toutes les fonctions possibles a une puissance supérieureà celle.
CURE du continu (2); l’ensemble F est donc infiniment plus riche que … l’ensemble E, c’est-à-dire renferme une infinité de fonctions q qu < SERRE n’appartiennent pas à E. Mais ce raisonnement basé sur les pui di sances a.un grave défaut : il nous apprend bien qu'il y a des fon tions de F quin HEAR ne à ii mais su ne nous s donr
termes de manière que deux hope différentes, De parlent de cette fonction, soient certaines qu elles parlent ‘méme. |
Le raisonnement précédent ne permet pas d’exelure l’ hi où un théorème tel que le suivant serait exact : toute
(*) Voir mes Leçons sur la théorie des fonctions, Notes IT et LE te) Loc: Us :
