INTRODUCTION

grales de l'équation (2) sont les mêmes pour toutes ces intégrales (c'est-à-dire indépendants de la valeur initiale yQ que prend au point initial Xq l'une quelconque des intégrales). La situation de ces points, que M. Painlevé appelle points singuliers fixes, sera

connue si l'on connaît les coefficients des puissances de y dans la

P fraction ^» Il est alors naturel de se demander s'il existe des équations (2) dont les intégrales ne présentent pas d'autres points singuliers que les points singuliers fixes ainsi déterminés. M. Painlevé démontre que seule l'équation de Riccati

^=Ao-+-Ai^H-A2j2

est dans ce cas. En particulier, l'équation de Riccati est la seule équation (2) dont toutes les intégrales puissent être des fonctions uniformes de x.

Ce dernier théorème nous apprend que, si nous nous proposons d'étudier les intégrales d'une équation (2) qui ne soit pas une équation de Riccati, nous aurons affaire à des fonctions multiformes ► Mais ne pouvons-nous espérer que ces fonctions n'auront qu'un nombre limité de branches, je veux dire qu'à une valeur quelconque de X ne correspondront qu'un nombre fini (n) de déterminations de ^? M. Painlevé répond encore à cette question :

Si les intégrales d^une équation (2) sont des fonctions à n branches, r équation (2) se ramènera à une équation de Riccati par un changement de variable rationnel. On saura toujours reconnaître, au moyen d^un nombre fini d^ opérations^ algébriques, si le changement de variable est ou n^ est pas possible.

Tel est l'état où se trouve, à la suite des travaux de M. Painlevé,. l'étude de l'équation rationnelle (2) : i" à part un petit nombre d^ équations qui se laissent ramener à Inéquation de Riccatiy les équations (2) définissent des fonctions multiformes possédant un nombre infini de branches; 1^ sur la nature de ces fonctions multiformes, nous ne possédons, pour ainsi dire, aucune indication positive. Nos connaissances à cet égard se réduisent aux propositions, d'un caractère purement local, qui ont trait aux points singuliers de Briot et Bouquet.