INTRODUCTION

Cette double constatation ouvre devant nous un vaste champ de recherches. Comment explorer ce champ? Si les réflexions que nous avons faites plus haut sont justes, il conviendra de s'inspirer largement des vues nouvelles récemment introduites dans la théorie des fonctions.

On pourra commencer par particulariser le problème et se proposer, par exemple, d'étudier les intégrales de l'équation

(3) ^ H-Ao-hAi^-+-A27*-hA373=o,

où les A sont des polynômes en x.

Les intégrales de (3) présentent, en général, une infinité de déterminations et une infinité de points singuliers. Nous ne saurons donc pas, d'ordinaire, former une expression analytique qui représente ces fonctions pour toutes les valeurs de la variable. Nous pourrions alors chercher à les représenter dans des régions de plus en plus étendues. Mais d'autres recherches devront être entreprises auparavant dont le type sera fourni par la théorie des fonctions entières.

Nous nous demanderons quel est le mode de croissance, l'allure d'une branche d'intégrale lorsque x s'approche d'un point singulier transcendant.

Nous étudierons, autour des valeurs limites, la condensation des points singuliers ou des déterminations des intégrales.

D'une manière générale, nous examinerons le mécanisme des permutations qui échangent entre elles les diverses branches de ces intégrales.

On le voit, ce ne sont pas les questions à traiter qui font défaut. Reste à savoir dans quelle mesure ces questions sont solubles. C'est ce dont je voudrais que nous cherchions à nous rendre compte au cours de ces leçons. Je me garderai d'entreprendre une classification et une discussion complètes. Je m'arrêterai principalement sur les types les plus simples d'équations (2), et je me demanderai quelles méthodes il serait bien possible d'imaginer pour les étudier, quels résultats on pourrait attendre de ces méthodes. Peut-être réussirai-je ainsi, sinon à résoudre le problème dont je viens d'esquisser l'énoncé, du moins à en montrer l'intérêt.