III) ^" =A

OU A, B, G sont algébriques et où k'^ désigne une constante.

De flus^ pour n donné, on sait reconnaître, à l'aide d'un nombre fini d'opérations rationnelles, si l'intégrale générale de (I) jouit de la propriété énoncée, et si oui, on sait effectivement intégrer l'équation (I) ou la ramener à l'équation de Riccati (II) ou à la quadrature (III).

33. Proposons-nous le même problème sans que n soit donné et en écartant le cas où l'équation (I) s'intègre algébriquement. 1

Autrement dit, cherchons à reconnaître si V intégrale générale y {x) de (I) est une fonction TR.vj\scENnAj\TE qui n'acquiert qu'un nombre fini y jvojv donné, de valeurs autour des points critiques mobiles y ce nombre étant le même pour chaque intégrale, sauf peut-être pour un ensemble dénombrable d'intégrales particulières,

La réponse est la suivante : On sait y à Vaide d'un nombre fini d'opérations algébriques, reconnaître s il en est ou non ainsi, ou intégrer V équation par la quadrature de différentielle totale

M(j^' ^){^y — y d^) = const.,

M désignant une fonction algébrique de (Xj y) et y la fonction algébrique de x, y définie par (I).

Dans ce dernier cas, pour que l'équation (I) rentre dans la catégorie étudiée, il faut et il suffit que, frétant quelconque et u désignant / M(/, ^) dy^ l'une des deux expressions e^" ou ,^ soit

algébrique en y^ pour des valeurs convenables des constantes X

fin

et k^. On peut dire encore que l'équation j- = M(y) doit définir une fonction yi^ii) à un nombre fini de branches.

Remarque. — Dans le dernier cas exceptionnel dont nous venons de parler, le problème posé se trouve en fait ramené au même problème concernant une équation (I) où x ne figure pas. Le cas où X ne figure pas apparaît donc, au point de vue qui nous occupe, comme un cas exceptionnellement difficile (*) auquel se ramènent tous les cas où le problème posé n'est pas complètement résolu.

De plus, comme nous l'avons remarqué déjà au n" 9, le cas où Téqualion s'intègre algébriquement échappe à la méthode; le problème posé est donc plus facile à résoudre quand l'intégrale générale est transcendante que quand elle est algébrique.

36. Enfin, il est impossible de ne pas se demander, comme au n" 18, quelle est la nature de V intégrale de (I) quand chaque intégrale y {x) est une fonction à n branches \u plus. Pour /? = 2, la méthode du n" 19 montre rigoureusement que yi^x) est une fonction algébrique de y^^ et dès lors les conclusions du n° SI s'appliquent; mais pour pouvoir être étendue au cas de n quelconque, la méthode exigerait la démonstration préalable du théorème (A) (p. 169). Quant à la méthode des n'" 23-26, elle peut être appliquée aux équations (I), et elle aboutit aussi à cette conclusion que yi^x^^ dans le cas étudié, est une fonction algébrique de j^^. Mais elle s'appuie sur le théorème (B) (p. 176).

D'une manière générale, toutes les propositions démontrées dans le cas où y entre dans (I) au premier degré, s'étendent sans peine au cas où ce degré est quelconque.

(*) Le problème qui consiste à reconnaître si une intégrale abélienne a une ou deux périodes renferme en particulier les problèmes d'Abcl : reconnaître si Tinté-

dx

données par Tchcbycheff et Zoiotaref montrent le caractère arithmétique des difficultés du problème.

z=^=^==== n'a qu'une période. Les solutions partielles