QUELQUES PROBLÈMES GÉNÉUAUX RELATIFS AUX ÉQUATIONS

DU PREMIER ORDRE

30. Su7^ la fonction yioc^y^^ x^), — Considérons une équation (i) où P et Q sont des polynômes en y dont les coefficients sont des fonctions uniformes de^. Soient x^ et x deux valeurs nu-

tfiO XOTE.

mériques, distinctes des valeurs ç, et >' = ^(x, i**. j:* » l'intégrale définie par les conditions initiales x =jc*^y=y'^. Laissant à :r la

valeur numérique x, prolongeons analvtiquement cette fonction dans tout le champ des^. Les différentes branches de cette fonction représentent, pour y^ donné, une branche d'une intégrale ^(or; de (i); appelons ^i ' x^y*^ x*) celle des branches qui

pour X =■ — x^ ^e, réduit à y^ ; les autres branches, pour x = j:*, prennent les valeurs

Toutes ces branches ç^lx, j'^, j:* ), '^zix^y*^ x^) se déduisent de la branche Oj ( x, y*^ x* ) en j. remplaçant y^ pour 'ijO'"),

'ia<^^")i etc. On peut toujours définir la branche 0| (x^y^^ x^ ) de façon qu'elle soit algébroïde pour toute valeur de ^'j finie ou non. Toutes les autres branches seront également algébroïdes pour toute valeur de^*, si les diverses e:xpressions '^2{y^), ^aO'*)? •-sont elles-mêmes algébroïdes pour toute valeur de y^] mais si 'J'sCjK")? P^^r exemple, admet une valeur j'«=c comme singularité transcendante, la fonction o-^i^^y^f ^®) admettra aussi cette singularité transcendante j^® = c pour x quelconque.

Considérons les diverses branches d'une intégrale y(x) qui se permutcntautourdespointscritiquesmobiles,elsoienty«,j^J,yJ, ... les valeurs que prennent en x^ ces diverses branches. Ces branches, dans tous les cas, correspondent à autant de déterminations de la

fonction ç(^, y^^ x^); mais il peut se faire qu^elles n'épuisent pas toutes les déterminations de cette fonction. C'est ainsi que

dans l'exemple du n** 16, la fonction ^{x^y^^ x^) aune infinité de branches, bien que chaque intégrale j^( a?) soit une fonction à deux branches au plus. Insistons sur ce cas remarquable.

31 . Intégrales exceptionnelles. — Soit Y (;r) l'intégrale définie par x =x^^ y = b\ l'intégrale y{x^ y®, x^) pour^o voisin de 6, acquiert, quand x tourne autour des points critiques mobiles, des

valeurs qui pour x =: x^ sont égales -ày^yl^ Supposons qu'il

existe un ensemble dénombrable de contours fermés, partant de x^

NOTE. l8l

pour y revenir, indépendants de y^ et tels, que pour toutes les

valeurs y^ voisines de b, y[x^ y^, x^j acquiert, après avoir parcouru ces contours, toutes les valeurs ^J, y^^ .... Quand il en est ainsi, y% yl^ ... sont des fonctions de y^ algébroïdes pour y» = b. Quand il n*en est pas ainsi, nous dirons que l'intégrale Y(^) = yyxj è, x'^) est une intégrale exceptionnelle I.

L'intégrale Y (a?) égale à b pour x = x^ acquiert en x^ , quand X varie dans son plan sans tourner autour des points fixes $, les valeurs YJ, Y^, . . .; si, pour j^» voisin de 6, on peut établir entre ces valeurs et les valeurs analogues y^-^yX^^ . . . , de

une correspondance univoque, telle que y^: tende vers Yy quand y^ tend vers 6, Y n'est sûrement pas une intégrale exceptionnelle I. La même conclusion s'applique si l'on considère toutes les déterminations de Y(x) et Ae y{x)^ quand x varie arbitrairement, et si l'on peut établir entre ces déterminations une correspondance univoque jouissant de la même propriété.

Il suit de laque Y(j?) OMy\x^ b, x^) ne peut être une intégrale singulière I sans qu'il existe des permutations évanouissantes

pour j'*^ tendant vers b] autrement dit, l'intégrale j^(^, y®, x^), en outre des branches qui tendent univoquement vers celles de Y(a?) pour y^ tendant vers 6, possède au moins une autre branche, soit z(x), se permutant avec les précédentes autour d'un point critique mobile, et cette permutation s'évanouit (*) pour y^=b.

(*) La branche z{x), quand y^ tend vers 6, ou bien tend vers une intégrale

Z{x) qui n'est pas une branche de Y(â7), ou bien ne tend vers aucune limite,

ou bien tend vers la même branche de Y {x) qu^une autre branche de y{x) déjà

Y ( y — 2 ) considérée. Par exemple, si l'intégrale générale est^^^ — = const. = >'''CX' — .'2),

(pour x^ = i), l'inLégraley = o est exceptionnelle, et quand y^ tend vers zéro, la

seconde branche de ^( a;) tend vers^ = 2. Dans l'exemple du n" 4 où Ton change y

en -> l'intégrale générale est^e y = ^ > (j:*=i); Tintégrale y = o est

exceptionnelle; pour y^ voisin de zéro, la branche de y{x) qui est égale à y

pour a? = I, se permute avec une branche «(a?) autour du point x = — y^e^ "y^j et quand ^« tend vers zéro, z{x) ne tend vers aucune limite déterminée. Enfin

l8a NOTE.

Considérons dans le plan des y^^ tous les points j^o = c tels que

l'intégrale y (:r, c, x^) soit une intégrale exceptionnelle 1. On voit bien aisément (comme au n" o) que l'ensemble E de points c ainsi défini est un ensemble fermé.

Quand la fonction y = cp(^, jk*^, x^) possède d'autres branches que celles qui correspondent aux déterminations de la même intégrale y (a:), permutables autour des points critiques mobiles, l'ensemble E comprend sûrement une ligne, soit L, qui jouit de la propriété suivante :

Une certaine branche de la fonction y= 'f (^î.>^®î »^"" ) prolongeable à travers cette ligne L représente d'un côté de L une intégrale y{x) dont une détermination est égale à y^ pour x = x^, et sur L et de l'autre côté de L une intégrale dont aucune branche

n'est égale à y^ pour x = x^.

C'est ce qui a lieu dans l'exemple du n" 16 : l'intégrale générale jk(^) est une fonction à deux ou à une branche suivant que y^ est intérieur ou non à une certaine aire D' du plan des y^, La frontière de D' est une ligne L qui jouit précisément de la propriété énoncée (*).

32. L'exemple du n° 17 nous montre que des circonstances analogues peuvent se présenter quand les coefficients aj{x), bi{x) des polynômes P, Q en j^ sont des fonctions à une infinité de valeurs, mais n'ayant qu'un novahve Jini de points singuliers.

Mais supposons maintenant que P et Q soient des polynômes en x^ y\ est-il possible que les mêmes circonstances se présentent? Autrement dit, les questions qui se posent sont les suivantes :

si l'intégrale générale est y'^= —, c'est-à-dire —r^ — = — ^ — , (a;* = i),

rintégrale y = o est exceptionnelle, et quand y^ lend vers zéro, les deux branches ^c yi^x^y^) tendent vers jk = o.

(') La définition -des inléjçrales exceptionelles I ne coïncide pas tout à fait avec la définition des intégrales réellemenl exceptionnelles I définies au n" 22 dans le cas où les intégrales y (a?) ont n valeurs au plus. L'ensemble E des points c correspondant à la nouvelle définition se compose, dans l'exemple du n** 16, de tous les points frontières de l'aire I)', tandis que l'ensemble C des points c correspondant à l'ancienne définition contient tous les points de D' et de son contour. Les deux çnsçrnbles E et «1^ coïncident si Ç qe comprend aucune aire.

NOTE. l83

Soit

") ^x=Q0^ (P,Q polynômes en ^,x)

une équation différentielle algébrique du premier ordre et du premier degré, et soit y {oc] v^, ^®) = ©(^, y^, x^) V intégrale de cette équation qui, pour x = x^^ est égale à y^,

I ° Si laissant à x et x^ des valeurs numériques x et x^ distinctes des valeurs ^, on prolonge analytiquement la fonction <p(^, ^X®, ^®) dans le champ desj^<*, cette fonction acquiert sûrement toutes les déterminations correspondant aux diverses branches de l'intégrale j^(^, y^, x^) qui se permutent quand x varie dans son plan sans tourner autour des points^^e^ ç (*). Peut-il arriver que cette

fonction o(x, y^, x^^) possède d'autres déterminations ?

2° Les intégrales exceptionnelles I peuvent-elles former un ensemble non dénombrable?

La réponse à ces deux questions est affirmative quand les coefficients aj(x)j bi[x) des polynômes PetQ enj>^ ne sont pas algébriques. Il est très vraisemblable qu'elle est négative quand ces coefficients sont rationnels ou algébriques : mais une démonstration rigoureuse apparaît comme très difficile. Et pourtant c'est là une question que l'étude analytique générale des équations (i) ne semble guère pouvoir esquiver.

Remarquons que la seconde question renferme en quelque sorte la première, en ce sens que si la seconde est résolue par la négative, il en est de même a fortiori de la première.

33. Soientj"(x, j"", ^®) l'intégrale générale de(i), et y(.r, c, x^) une intégrale exceptionnelle I. La valeur j^<^ = c peut être (mais n'est pas nécessairement) un point singulier transcendant d'une

ou plusieurs branches de la fonction j^ = o(^, y^^ x^). L'ensemble E des points c du plan des y^ est toujours fermé; s'il est

(^) Si l'on prolonge la fonction 9 (a?, )®, a?") dans le champ des a?", on obtient sûrement toutes les branches de l'intégrale ;k(^) T°> ^") <1"^ se permutent quand X tourne tant autour des points critiques fixes que des points critiques mobiles. Mais peut-il en exister d'autres? Dans tous les cas, il est plus simple de prendre y^ comme constante arbitraire plutôt que a?°,

l84 NOTE.

dénombrable, l'ensemble dérivé est conlenu dans E et est lui-ménie dénombrable.

Dans Texemple du n** 4, l'équation

possède deux intégrales exceptionnelles I, à savoir y ^ o et ^ ^ oc. La fonction y = ç(^, X®, x^) est définie par la relation

y^z=o est un point transcendant d'une infinité de branches de

?(^î JK° ^®)î de même quey<> = oo. Lorsque y^ tend vers zéro, le point critique mobile unique ^ = a dey(;r), à savoir

tend vers le point x = oo qui est un point Ç; quand y^ tend vers l'infini, ce point critique est complètement indéterminé.

Comment cette dernière circonstance peut-elle se produire? Pour des valeurs àe y^ de module indéfiniment croissant, le point critique ^ = a tend vers i par exemple ; l'intégrale y{x)^ égale à y^ pour x=zx^^ prend donc la valeur j^= — i quand on va de x^ à un certain point a voisin de i sur un certain chemin L; mais ce chemin L, comme on le voit aisément, tourne autour du point critique fixe ^ = o un nombre de fois qui croît indéfiniment avec |jK®|. Si Ton veut que L reste extérieur à un cercle de centre ^ = o et de rayon petit mais donné e, la longueur de L croît indéfiniment avec \y^\'

On conçoit, d'après cela ('), comment la même circonstance ne peut se produire quand le nombre des branches des intégrales y{x) est au plus égal à un nombre fini n. Nous avons montré (n** 24) que, dans ce cas, tout point critique mobile x^=cl^ autour duquel

(M Si y® tend vers un point c sur un chemin continu, des considérations analogues montrent que tout point critique mobile x = ol autour duquel se permutent deux branches dty{x) qui cessent de permuter pour^(,= c, ou bien est indéf^crminc, ou bien tend vers un point Ç.

NOTE. l85

se permutent deux branches de y[x^ y^j x^) qui cessent de se permuter pour y^= c, tend nécessairement vers un point Ç quand y^ tend vers c,

34. Equations différentielles algébriques de premier ordre, — Toutes les conclusions et tous les problèmes qui précèdent ont leurs analogues (* ) pour les équations

où F est un polynôme en j^, y et ix.

En particulier, la proposition générale du n° 1 s'applique à ces équations : Si Con excepte un nombre fini de points x = ^ qui se déterminent algébriquement sur Céquation, les intégrales y{x) de (I) n^ admettent que des points singuliers mobiles, qui sont tous algébriques. Seuls les points fixes \ peuvent être des points singuliers transcendants.

Convenons, comme au n" 5, de dire que l'intégrale générale de E est une fonction à n branches si chaque intégrale y{x) est une fonction à n branches, exception étant faite peut-être pour certaines intégrales formant un ensemble dénombrable.

Convenons de dire, de même, que l'intégrale générale possède n déterminations permutables autour des points critiques mobiles, si chaque intégrale y{x) acquiert exactement n déterminations quand x varie arbitrairement mais sans tourner (^) autour des points I, exception étant faite peut-être pour certaines intégrales formant un ensemble dénombrable.

Le théorème qui correspond au théorème du n" 8 s'énonce ainsi :

Quand l'intégrale générale acquiert seulement n déterminations autour des points critiques mobiles [en particulier quand c'est une fonction à n branches), V intégrale y {x) de l'équation (I) est une fonction algébrique de y^^ et cette équation s'intègre algébriquement^ ou bien par une transfor-

(*) Voir mes Leçons de Stockholm, p. 4^-98, iii-j/|0, 155-172. (') Le sens de celle expresMon est le même qu'au n» 6 : le contour fermé G ne tourne pas autour du point ^, si, quand x a parcouru uoe fois tout le contour C,

Targument du vecteur \x reprend la même valeur.

l86 NOTE.

mation

u = r{y\ y,x) (r rationnel en y\ y algébrique en ar),

se ramène soit à une équation de Riccati

(II) 4^ =A(a:)a«-hB(jr)a-hG(a:),

ax

soit à la quadrature