PREMIERES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DISCOTIXCBS. I

Une fonction telle que V ensemble P des points de discontinuité possède un ensemble dérivé P* comprenant un nombre fini de points est limite de fonctions continues.

En eflet, soient M,, Mo M,, les points dont se compose P-.

Dans toute portion du segment AB qui ne contient aucun des points M,, Mo, . . ., Mrt, l'ensemble P' contient un nombre fini de points; donc (n" 10), y est, dans cette portion, limite de fonctions continues. Le théorème I montre qu'il en est de même sur le segment total AB.

12. Dès lors, il est très aisé d'obtenir des fonctions discontinues de plus en plus compliquées, en généralisant la notion d'ensemble dérivé. Appelons d une manière générale dérivé d'ordre v de P, le dérivé de P'~', et désignons-le par P': nous définissons ainsi des ensembles désignés par P', P-, ..., P^, ....

Montrons que, si l'on sait construire un ensemble de points pour lequel P^ existe, on peut en construire un pour lequel P'^' existe, et contient un point M donné à 1 avance.

Je me donne une infinité de points M, , Mo M„ tendant

vers M ifig. 1 1). Plaçons dans chacun des intervalles M^M^^,,

Fi" II.

un ensemble possédant un dérivé d'ordre v. et tel que M„ fasse partie de ce dérivé d'ordre v. L'ensemble de tous les points introduits aura un dérivé d'ordre v qui contiendra les points M,.

Mo. M,,. Ce dernier ensemble ayant un point limite M,

Tensemble primitif aura un dérivé d'ordre (v -+- i i dont M fera partie.

Nous aurons, relativement aux fonctions discontinues, le théorème suivant :

Etant donnée une fonction telle que V ensemble P de ses points de discontinuité possède un dérivé d'ordre entier comprenant un nombre fini de points, cette fonction est limite de fonctions continues.

Supposons le théorème démontré pour toutes les valeurs entières R. B. o

l8 CHAPITRE I.

inférieures ou égales à un certain nombre v, et démontrons-le pour le nombre (v -f- i).

Soient M,, Mo, ..., M,i les points de P^+*. Dans tout intervalle ne contenant aucun de ces points, Pv+' est nul ; donc P'' n'y possède qu'un nombre fini de points. Dans ce segment, la fonction est donc limite de fonctions continues. Par application du tbéorème I, elle l'est encore dans le segment total.

13. On peut former des ensembles de points pour lesquels le dérivé d'ordre v existe quel que soit v.

Prenons sur le segment un point M. Je prends une suite de points M,, Mo, M3, ... {fig. 1 1), tendant vers M. D'une manière générale, plaçons, dans MvMv+j, un ensemble possédant un dérivé d'ordre v, et cela, pour toutes les valeurs de v. Considérons l'ensemble P formé par la réunion de tovis ces ensembles. Je dis qu'il possède un dérivé d'ordre v, quel que soit v. Car, étant donné v, pour les points de l'intervalle MvMy+i, le dérivé d'ordre v existe, et aussi pour tous les intervalles suivants : Mv+)Mv+o, .... Donc, P^ existe. De plus, le point M est contenu dans tous les ensembles P^. Il j a lieu, à ce sujet, de donner le théorème général suivant :

Étant donné un ensemble P, réparti sur un segment Jini, et ayant un ensemble dérivé d' ordre v quel que soit v^ je dis qu^il y a au moins un point de V intervalle qui appartient à tous les ensembles P^.

Plus généralement, étant donnés, sur un segment Jini, des ensembles fermés en nombre infini P,, Po, ..., Pv, ..., satisfaisant aux conditions

Pi^P2>...>Pv^...,

il existe au moins un point qui appartient à tous les P^

En effet, par hypothèse, le segment AB contient, quelque soit v, des points de Pv; on reconnaît que, si l'on divise AB en deux segments AC, CB, la même propriété appartient à l'un au moins de ces segments; en répétant le raisonnement, on forme une suite de segments possédant tous cette propriété, et dont chacun est contenu dans le précédent, et l'on peut faire en sorte que leur longueur tende vers o; dans ces conditions, il y a un point unique qui est