PREMIÈRES RECHERCHES SLR LES FONCTIONS DISCONTINUES. I
commun à tous ces segments; ce point appartient à chacun des ensembles Py, qui sont tous fermés.
14. Nous désignerons l'ensemble des points qui appartiennent à P^, quel que soit v, parla notation P*^, et nous dirons que P'" est \ ensemble dérhé de P d'ordre co.
Pour rappeler que cet ensemble est, par définition, celui de tous les points communs à P'. P- P"' nous écrirons :
!'«-= D(P>,Pi, ..., Pv, ...)
et nous dirons que P*^ est le plus grand commun diviseur de P'.P- pv, ....
Montrons que P*^ est un ensemble fermé.
Plus généralement, si P, Q, R. ... sont des ensembles fermés, en nombre ^/i£* ow infini, l'ensemble S des points communs à P, Q, R, ..., s'il existe, est fermé. Car, si un point Aest limite pour
S, il est limite pour chacun des ensembles P, Q, R donc
appartient à tous, donc il appartient à S.
Si une portion de l'intervalle considéré ne contient aucun point de P*^. il existe un entier v tel que P' ne contient dans cette portion qu'un nombre fini de points.
En effet, si dans l'intervalle a^ il existait des points appartenant à tous les ensembles P', P-, .... P'. il y aurait dans cet intervalle au moins un point de P*^. Donc, l'un au moins des ensembles P' ne contient pas de points dans cet intervalle. D'ailleurs, si un ensemble P^ ne contient pas de points, il en est de même de tous ceux qui le suivent.
Les ensembles P', P-, .... P"', ... se rangent donc en deux catégories. Les uns contiennent des points dans l'intervalle a3, les autres n'en ont pas. Parmi ceux-ci, il y en a un dont l indice est plus petit que tous les autres ('). Si cet ensemble n'est pas P',
(') Oq s'appuie sur ce fait qu'un ensemble A de nombres entiers possède un élément plu? petit que tous les antres :
En effet, si i fait partie de A, i est le plus petit élément de A. Sinon, et si n en fait partie, ce sera 2. Si, ni i. ni a n'appartiennent à A. nous essayons 3, et ainsi de suite. Le premier nombre de A atteint sera son plus petit élément.
Je dis qu'on atteindra ce nombre au bout d'un nombre flni d'essais. Car, soit a un entier faisant partie de A, qui par hjpothése en contient, a est une limite supérieure du nombre d'essais à effectuer.
soit (v+i) son indice. On voit que, dans aji, P^ contient des points, et il en contient un nombre Jini puisque P''+' n'en contient pas.
Nous aurons sur les fonctions discontinues le théorème suivant:
Étant donnée une fonction f définie sur un segment AB, si l'ensemble F des points de discontinuité est tel que V^ se compose d^un nombre fini de points, La fonction est limite de fonctions continues.
En effet, dans tout intervalle ne comprenant aucun des points de P*^, la fonction est limite de fonctions continues, parce qu'il existe un dérivé P^ n'ajant dans cet intervalle qu'un nombre fini de points (n" 12). Donc on se trouve dans les conditions d'application du théorème I.
lo. Poursuivons la généralisation de la notion d'ensemble dérivé.
On peut construire des ensembles de points tels que P" existe et contienne une infinité de points.
Je me donne sur AB une infinité de points M, , Mo, . . ., M,;, . . . {fig. 1 1) tendant vers M. Dans chacun des intervalles M,; M,,^,, je ])lace un ensemble de points possédant un dérivé d'ordre (o dont fasse partie M« et ainsi pour toutes les valeurs de n. L'ensemble total aura un dérivé P^^ comprenant tous les points M,, Mg, ..., M/;, ... et possédant par suite un point limite M. V^ a un dérivé. Nous le notons P"+' (cette notation étant purement conventionnelle).
Nous pouvons construire des ensembles P, tels que P'^+i ait un dérivé. Nous le désignerons par P<^+-. D'une façon générale, si l'on a défini P«+v^ le déri\é de cet ensemble sera noté P^î+v+i. Ces ensembles étant tous fermés, on a
PW> PW4-1> P(l)^-2> > Pm+v>,
Si l'ensemble dérivé d'ordre v de P'^, c'est-à-dire P^+v, existe quel que soit v, nous avons vu (n" 13) qu'il existe alors sur AB des points appartenant à tous ces ensembles. Ces points forment un ensemble fermé que nous désignerons par P'^^s g^ nous écrirons :
Pwx2 — £)(^pa)-i-l^ pw+2^ pw+v \
