PREMIÈRES RECHERCHES SIR LES FONCTIONS DISCONTINCES

Pour construire un ensemble où P'^'^^ existe, je m'appuie sur ce qu'il est possible de placer sur un segment donné un ensemble admettant un dérivé P«^+*.

Je considère alors une infinité de points M|, Mo, ..., Ma, • • • tendant vers M. Dans Tintervalle M^M^+i je place un ensemble avant un dérivé P«'»+*, et ainsi pour toutes les valeurs de h. Lensemble total possède un dérivé P^+a, quel que soit h. Donc il possède un dérivé P«^2 qui contient M.

Pareillement P'^'^^ peut avoir un dérivé et même des dérivés successifs; nous convenons de les désigner par les indices

Si P*^^- possède une infinité d'ensembles dérivés, on désignera l'ensemble commun à tous ses dérivés par P«*^'.

D'une façon générale, nous arrivons à la notion d'ensemble dérivé d'ordre w x A, et d'ordre co x a -r- v, a et v étant des nombres entiers quelconques.

Pour préciser la signification de P««»<).+v^ nous dirons :

Si P**^^aété défini, Pw'^î--*-' est son dérivé, P«^>^+v+« est le dérivé de pwx).-H;. pw{>.+ i) est l'ensemble des points communs aux ensembles

PmxX^ pwxX-i-i, , pwx>,-f-v ....

L'utilité de ces définitions résulte de ce qu'on peut construire effectivement des ensembles possédant ces dérivés.

A l'aide dune série de points M,, M^, . . ., M„. . . . tendant vers un point M, dans les intervalles desquels on place des ensembles d'une construction déjà connue, et choisis convenablement, on construira :

1° Un ensemble possédant un dérivé pw^>+A+' , sachant construire un ensemble possédant un dérivé P^^à+a. et, par suite, pour cette même valeur de a, un ensemble possédant un dérivé Pw^^+v, quel que soit v ;

2° Pour celte valeur de a, un ensemble possédant un dérivé P*^^'-"*"'^;

3° Un ensemble possédant un dérivé P^^^^- quel que soit a.

Les dérivés P**, P^xa^ ^ pwxx^ ^ dont chacun est fermé et contenu dans le précédent, sont tels, d'après le théorème du n° 13, qu'il existe des points communs à tous ces ensembles. L'ensemble

■ri CHAI'lTItl': 1. — l'UKMIlhtES HECUKRCllES SUR LES FONCTIONS DISCONTINUES.

des points communs à tous les ensembles P'", P^xi»^ ^ ^ pcoxx^ ^ quel que soit A, sera noté P"^' :

Remarquons que, par cela même, P"*'' sera l'ensemble des points communs à tous les pw>+v^ quels que soient A et v, puisque pw().+ i) est l'ensemble de tous les points communs à P'^^, P^X+i^ ^

pwX+v

Rien n'empêche que P'^' contienne une infinité de points, ait un dérivé, une suite de dérivés analogues à la suite définie en partant de l'ensemble P lui-même.

Résumons ainsi la formation successive de tous ces ensembles qui s'échelonnent d'une façon bien déterminée : étant donné l'un d'eux, nous en déduisons le suivant, qui est son dérivé. Par l'application de cette règle, on est conduit à considérer une suite infinie d'ensembles, dont chacun est contenu dans le précédent, et à former l'ensemble de leurs points communs. Il y a donc deux j)rocédés distincts pour l'introduction de nouveaux dérivés.

Il est nécessaire, avant d'aller plus loin, d'approfondir les notions nouvelles auxquelles nous conduit ce double mode de généralisation. Ce sera l'objet du Chapitre suivant.