I. — La notion d'ensemble bien ordonné

16. Xous avons introduit, pour rappeler l'échelonnement successif des ensembles définis au n" lo, des notations nouvelles qui ont l'avantage de rappeler d une façon simple l'ordre relatif des différents ensembles introduits, ce qui serait beaucoup plus difficile avec l'emploi exclusif des nombres entiers positifs.

Les signes introduits constituent les premiers nombres transfinis de M. Cantor. Nous allons préciser cette notion de nombre transfini par de nouveaux exemples de cas où elle s'impose.

Considérons des points en nombre infini, M,, Mo, ..., M^, ... {fig- 12), disposés sur un segment AB de telle manière que My^i

FiiT. 15.

soit toujours à la droite de Mv. Xous savons qu'en pareil cas, ces points restent en deçà d'un point limite P. Introduisons maintenant un nouveau point Q à la droite de P, considérons l'ensemble

des points M,, Mo M,,, P, Q; convenons de dire que, de deux

points de cet ensemble, celui qui a l'abscisse inférieure a un rang inférieur à l'autre, et -cherchons à désigner les points de cet ensemble par des notations qui indiquent leur ordre relatif.

Le problème est résolu pour les points M,, Mo, ..., M.; à

l'aide des indices dont ils sont affectés. Pour étendre cette solution aux points P et Q, nous noterons P parM^, en convenant qu'un élément d'indice to a un rang supérieur à un élément d'indice V, V étant un entier quelconque. Q sera noté Mt^,, en convenant une fois pour toutes, que M„^, a un rang supérieur à M^,.

a4 CHAPITRE II.

Parce moyen, connaissant les indices de deux points quelconques de l'ensemble, nous connaîtrons l'ordre relatif de ces points.

Considérons maiiatenant en plus de la suite précédente, une suite de points IN,, No, ..., Nv, ... d'abscisses encore croissantes, situés enti^e P et Q, et tendant vers Q {fig. i3). Supposons que

Fis. i3.

M, M2 Mv N, Nv

nous voulions représenter tous ces points par un système de notations unique, indiquant leur ordre relatif. Il nous suffît de désigner le point Nv par M^+v, et le point Q qui est à la droite de tous les autres par la notation M^x'-'-

On peut former des ensembles plus complexes encore. Sur le segment AB, prenons une succession de points P,, Po, ..., Px, ..., en nombre infini, tendant vers un point Q {^fig- i4)- Dans chaque

Fig. 1-1.

Pi P2 P/PX*

intervalle Px, Px+i, plaçons un ensemble de points d'abscisses croissantes tendant vers l'extrémité de droite Px+i de l'intervalle. La notation suivante indiquera clairement l'ordre relatif de deux points quelconques de l'ensemble total.

Les points seront désignés par rangs croissants : entre A etP,, par M^, M2, ..., Mv, . . . ; P) par M^^ ; entre P, et Po, par M^^^,, Mw+o, . . ., Mw+v, ... ; P2 par M^^^o, et ainsi de suite.

P<, Po, ..., Px, ..., seront désignés par M^, M^^^a, •••, M^xX, •••• Le point Q qui est à la droite de tous les points Px sera noté M^,;.

17. Un nouvel exemple sera donné par la considération de suites d^ entiers.

On appelle ainsi un ensemble d'entiers positifs rangés dans un ordre déterminé

«1, «2» • . • 5 Ct-ni ...

Considérons deux suites d'entiers

bi, 62, ..., è„, ...

que nous désignerons par S| et So. Nous conviendrons de dire que la suite Sj esl plus croissante que la suite Si, s il existe un rang p tel que, dès que n^ p. on a 6„ >» a,i.

En général, deux suites ne sont pas comparables, cest-à-dire qu il n"j a pas lieu de dire que 1 une est plus croissante que lautre.

Nous allons montrer qu'étant donnée une infinité dénombrable (*) de suites, il est possible de construire une nouvelle suite plus croissante que chacune des premières.

Désignons les suites par les lettres S,, So, ..., S«, ... et chacun de leurs éléments par un double indice. Le tableau, indéfini dans deux sens, des éléments des suites, sera le suivant :

Si, rtl.l, «M, «l.p, — ,

Sjj fli.i, «î.î, •••, «!./j} •••,

^/i, ^».I» ^n.ii •••■> f^n.pi •••1

Constituons de la façon suivante une nouvelle suite - dont nous désignerons les éléments par 6,, b^ bp.

6, sera l'entier immédiatement supérieur à a,^, ; èo l'entier immédiatement supérieur au plus grand des deux entiers rti.o? «2.2 : bp au plus grand des p entiers rt,.p, a>.p. ..., ap.p.

La suite S est parfaitement définie. Je dis que - est plus croissante que Tune quelconque des suites données. Comparons en effet S« et S. A partir du /i'*^™^ terme, on a

ce qui démontre la proposition.

Appliquons le théorème aux suites de plus en plus croissantes :

Sî,

(■) En ce qui concerne la notion de dénombrabilité, voir Leçons sur la Théorie des fonctions, de E. Borel, pages 8 et suivantes.

a6 CIIAPITRK II.

Sans appliquer la règle donnée dans la démonstration précédente, nous apercevons immédiatement la suite plus croissante :

Pour rappeler que cette nouvelle suite est plus croissante qu'une quelconque des suites S,^,nous la désignerons par S^, considérant en un certain sens iù comme un indice supérieur à tous les entiers positifs.

Pour former une suite plus croissante que S^, il suffira d'augmenter d'une unité chaque élément de Sw La suite obtenue sera par suite plus croissante que chacune des suites S|, So, ..., S„,

Ce sera

Nous la désignerons par S^+i . Désignons d'une façon générale par S(,,(.„ la suite

Les suites Sw+i, •••, St^+w, ... sont de plus en plus croissantes et en nombre infini. Nous pouvons en trouver une plus croissante.

Ce sera la suite

Nous la désignerons par 8^x2-

On peut continuer l'application du procédé. On notera S^^o+m Sa)x2+27 •••5 S(^,^2,.v, ... les suites suivantes :

4î 6, 8, lo,

La suite plus croissante

sera notée S^xa-

D'une manière générale, désignons par S^.x la suite

I X X, 2 X X, 3 X X, . . . , et par Sm.),+v la suite

Considérons enfin les suites S^,. S^^j' •••' '^wx'/. '■

On aperçoit immédiatement la suite plus croissante

que nous noterons S^^.

18. Tous les exemples étudiés précédemment, ensembles dérivés, points d'un segment, suites d'entiers, présentent ce caractère commun que Tordre relatif des éléments qui y figurent est chaque fois parfaitement déterminé.

Pour l'introduction d'un élément nouveau, nous nous sommes placés dans deux sortes de cas. Dans un premier cas, étant donné un ensemble d'éléments dans lequel l'un d eux a un rang supérieur à tous les autres, nous en ajoutons un nouveau qui a un rang supérieur à ce dernier. Dans le second cas, étant donné un ensemble d'éléments dans lequel aucun d'eux n'a un rang supérieur à tous les autres, nous en ajoutons un, ayant cette propriété.

Nous allons généraliser ces considérations et ces méthodes en nous plaçant à un point de vue tout à fait général. Les éléments des ensembles dont nous nous occuperons dans le présent Chapitre sont des êtres mathématiques absolument quelconques, nombres, points, fonctions, suites, etc

Ensembles ordonnés. — Etant donné un ensemble d'éléments, nous dirons que cet ensemble est ordonné si l'on fait une convention qui permet de ranger ces éléments dans un certain ordre, de telle sorte que :

i" Etant donnés deux éléments quelconques de l'ensemble, a et 6, l'un a un rang inférieur à l'autre, ce que j'écrirai, si c'est a qui

a le rang inférieur :

a -^b ou b)- a ;

2° Etant donnés trois éléments a, 6, c, les conditions a -^bj b -<^c entraînent a -^c.

Par exemple : l'ensemble de tous les nombres réels positifs, nul et négatifs, constitue un ensemble ordonné si, étant donnés deux nombres a et 6, on convient de donner le rang inférieur à celui qui est plus petit que l'autre. Il en est de même pour l'ensemble des nombres rationnels de l'intervalle (o, i), si l'on adopte la même convention.

Nous pouvons aussi ordonner l'ensemble des nombres rationnels de l'intervalle (o, i) en rangeant ses éléments en une suite correspondant aux nombres entiers o, i, 2, ..., v, ..., ce que l'on sait être possible. Pour fixer les idées, nous adopterons l'ordre suivant : d'abord o; 1; puis, toutes les fractions irréductibles, ajant pour dénominateurs successivement 2, 3, 4? ..., /i, ... et rangées par ordre de grandeur pour un même dénominateur, c'està-dire :

Nous pouvons désigner ces nombres dans l'ordre où nous les rencontrons, par

«1, a,, . . ., Cl;,,

Convenons maintenant, étant donnés deux nombres rationnels ai et aj compris entre o et i, de considérer celui des deux dont l'indice est plus petit comme ayant le rang inférieur. Cette convention une fois faite, l'ensemble est ordonné.

Similitude de deux ensembles. — • Nous dirons que deux ensembles ordonnés sont semblables s'il existe entre leurs éléments une correspondance biunivoque et réciproque telle que l'ordre relatif des éléments correspondants soit conservé. Autrement dit : Soient deux éléments a, b de l'un correspondant aux éléments «', b' de l'autre. La condition a -^b entraîne a' ~< b' et réciproquement.

La loi qui définit la correspondance est dite une application d'un des ensembles sur l'autre.

Deux ensembles semblables à un troisième sont semblables entre eux.

Soient les deux ensembles A, B, semblables à C. Il existe, par hypothèse, deux correspondances, l'une entre les éléments de A

LES ENSEMBLES BIEX ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFIMS. 2g

et de C, l'autre entre ceux de B et de C, telles que a e\. b correspondant à c, a' et b' à c', la condition : c-^c' entraîne séparément a-^a'. et b -(b\ et, réciproquement, lune quelconque de ces deux conditions entraîne c -^c'. Si donc nous faisons correspondre entre eux les éléments de A et de B qui correspondent à un même élément c de C, b -^b' entraînera a -<a', puisque b -^b' implique c-^c' qui implique a -{a'. Cette correspondance est donc une application.

19. Ensembles bien ordonnés. — Un ensemble supposé ordonné est dit bien ordonné si tout ensemble contenu dans lensemble donné (y compris lensemble donné lui-même), possède un élément initial, c est-à-dire un élément de rang inférieur à tous les autres.

Comme exemple d ensemble ordonné, mais non bien ordonné, on peut citer 1 ensemble E des nombres rationnels de l'intervalle (o,i), si la convention faite est qu'un élément a un ranij inférieur à un autre quand sa vale:ur est plus petite. Cet ensemble est ordonné, mais non bien ordonné. Car. si je considère l'ensemble partiel E', formé par les nombres de E supérieurs à - , ces

nombres sont de la forme a. a étant rationnel et positif: or.

quel que soit a, le nombre — ; — a un rang inférieur au nombre (- — a) et fait partie de E'; E' n'a donc pas d'élément initial.

donc E n'est pas bien ordonné.

Comme exemple d'ensemble bien ordonné, citons : une suite -de points A|, Ao, — , A,,, .... placés sur un segment de droite AB. se succédant de façon que tout point soit à la droite du précédent, et avec la convention ordinale que le rang d'un point donné soit supérieur à ceux de tous les points placés à sa gaucbe. De deux points, celui dont l'indice est le plus petit a le rang inférieur. Je dis que tout ensemble partiel aura un élément initial: car. étant donné un ensemble d'entiers positifs, il v en a un plus petit que tous les autres.

Etendons cet exemple : Soient les points A,. Ao. ..., A„

Ao), Aw+|, .... A(o+A- /^ étant un entier déterminé {Jig. i5). disposés sur AB de la façon suivante : quel que soit /i, A„^.| est à

3o CIIAP1T1U-: II.

la droite de A« et A^ à la droite de A„^,. Aw+< est à la droite de Aw+i-c Convenons que le rang des points de l'ensemble soit conforme à l'ordre dans lequel on les rencontre sur le segment parcourvi de gauche à droite. Je dis que l'ensemble ainsi ordonné est bien ordonné. Soit E' un ensemble faisant partie de E. Je dis que E' a un élément initial. Deux cas sont possibles : i" E' con-

A A,ju Aoi)+h B

A) Aj Af, «

tient des points d'indices entiers. Dans ce cas, celui dont l'indice est le plus petit aura un rang certainement inférieur à tous les points de E'; 2" E' ne contient pas de points d'indices entiers. 11 ne contient donc qu'un nombre fini de points, pris parmi les points Aw, Ato^.!, . . ., A(a+h- Il a encore un élément initial.

On verra de même que l'ensemble de points défini au n" 16 et qui contient des points désignés par

Ml, M2, ..., Mv, ..., Mo), ..., M«.)+v, .-., M«.

est bien ordonné, en adoptant la même convention d'ordre que pour l'ensemble précédent.

Ln autre exemple nous est fourni par les dérivés d'un ensemble de ])oints P. INous avons défini les ensembles

pi P2 Vil PtO PW.X+V pw-

Ces ensembles peuvent être considérés comme les éléments d'un ensemble H. Pour définir l'ordre relatif de deux éléments de l'ensemble, nous donnons le rang inférieur à celui qui a été défini avant l'autre. A l'aide de cette convention, H sei'a bien ordonné.

Enfin, considérons des suites dentiers de plus en plus croissantes, formées par exemple d'après les procédés employés au n" 17

01, 02, •••? ^/i) •••) Ju)i •••1 ^u).y.+v^ •••) S(o'.

Considérons ces suites couime les éléments d'un ensemble H. Cet ensemble sera bien ordonné si, de deux suites, nous considérons comme ayant le rang inféineur celle qui est la moins croissante.

LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRAN5FIMS. 3l