II. — Comparaison des ensembles bien ordonnés

20. La notion d'ensemble bien ordonné étant suffisamment éclaircie par ces exemples, nous allons Tanalyser au point de vue de la similitude et de la comparaison des ensembles bien ordonnés.

Si E est un ensemble bien ordonné, toute partie E' de E est un ensemble bien ordonné, si Von conserve comme ordre relatif de deux éléments de E', celui qu'ils possédaient dans E.

Car, si E" est une partie de E', E'' est une partie de E. et possède par suite un élément initial.

Segment. — Soit a un élément quelconque de E. Xous appellerons segment de E défini par a l'ensemble A des éléments de E qui ont un rang; inférieur à a.

A est un ensemble bien ordonné, si l'on conserve la même loi d'ordre relatif que pour E.

Soient a et a' deux éléments distincts de E; si a -^a', le segment A déterminé par a est un segment du segment A' déterminé par rt', de sorte que, étant donnés deux segments différents d'un ensemble bien ordonné, l'un est segment de l'autre.

Etant donnés deux ensembles semblables, E et F, les ses"ments respectifs A et B déterminés par deux éléments cojrespondants a et b sont semblables.

Je vais montrer que l'application en vertu de laquelle E et F sont semblables applique le segment A sur le segment B. En eflet, à tout élément a' de A correspond dans F un élément ^', qui appartient à B. car la condition a' --^a entraîne b'-^b. De même, à tout élément de B correspond un élément de A, et cette correspondance entre les éléments de A et ceux de B est réciproque. Je dis de plus qu'il y a application. Car, l'inégalité a' -^a" entre deux éléments de A entraîne l'inégalité b' -^ b" entre les deux éléments correspondants de B. A et B sont donc semblables.

Donc, si deux ensembles bien ordonnés sont semblables, tout serment de l'un est semblable à un ses^ment de l'autre.

21. Un ensemble bien ordonné E ne peut être semblable à aucun de ses segments.

Montrons que l'on aboutit à une contradiction, en admettant comme possible une application de E sur un de ses segments A.

Soit a l'élément de E qui détermine A. L'élément a considéré dans E correspond à un élément de A que je désigne par a, ; rtj, faisant partie de A, a un rang inférieur à a. Désignons par A, le segment de A déterminé par a\. Nous venons de voir que A et A, sont semblables. Il j a application de A sur A,.

Répétons notre raisonnement. L'élément a, de A correspond à un élément de A), «oj dont le rang est inférieur à a^. Soit A2 le segment déterminé par «o- A( et Ao sont semblables. Le raisonnement peut se poursuivre indéfiniment. Il serait donc possible de déterminer une suite infinie d'éléments de E : «), ao, • • -, <^n) • • •■> de rangs toujours décroissants et par suite n'ayant pas d'élément initial, ce qui est impossible.

Remarquons que, étant donné un ensemble bien ordonné, s'il comprend une infinité d'éléments, il j a toujours dans cet ensemble des parties qui sont semblables à l'ensemble.

Par exemple, prenons l'ensemble des nombresfentiers i, 2, ..., ;i, ... rangés par ordre de grandeur croissante. L'ensemble des nombres 4, ^1 • ■ •■> n -^ 3, ... lui est semblable. Il suffit de faire correspondre les nombres n du premier et n + 3 du second. De même les deux ensembles 1 , 2, . . ., n, ... et 2, 4: 6, . . ., a/z, ... sont semblables, et le second est une partie du premier.

22. Du théorème précédent, nous déduirons deux conséquences importantes.

Etant donnés deux ensembles bien ordonnés E, F, un segment de l'un ne peut être semblable au plus quà un segment de V autre.

Ceir, si le segment A de E était semblable à deux segments différents B, B' de F, B et B' seraient semblables entre eux, ce qui est impossible, puisque, de ces deux segments, l'un est segment de l'autre.

Deux ensembles bien ordonnés E et Y, qui sont semblables.,

ne peuvent être appliqués l'un sur l'autre que d'une seule manière.

En effet, s'il y avait deux manières différentes d'appliquer E sur F, l'un au moins, a, des éléments de E correspondrait par les deux procédés à deux éléments différents 6 et b' de F. Mais alors, le segment A de a serait semblable aux deux segments différents B et B' de F, ce qui est impossible.

23. Étant donnés deux ensembles bien ordonnés E et F, nous dirons que les éléments a de E et 6 de F sont homologues, si le segment A de E déterminé par a et le segment B de F déterminé par b sont semblables.

Remarquons quil est toujours possible de trouver un couple d'éléments homologues dans E et F dès que chacun de ces ensembles existe effectivement : il suffit de considérer les deux éléments initiaux de ces ensembles.

Dans le cas particulier oîi E et F sont semblables, nous avons vu qu'il j a une seule application de E sur F. Deux éléments se correspondant oans l'application sont homologues, car on a vu que les segments déterminés par ces éléments sont semblables.

Supposons E et F quelconques :

I. Un élément a de ^ ne peut avoir plus d'un homologue dans F. Car, s'il y en avait deux, le segment A serait semblable à deux segments de F, ce qui est impossible (n** 22).

II. Si les éléments a de Ej b de F, sont homologues, tout clément a' de E de ran^ inférieur à a a un homologue dans F.

Car les segments A et B sont semblables. Les éléments correspondants dans l'application de A sur B sont homologues, considérés comme appartenant à A et B, et par suite aussi considérés comme appartenant à E et à F.

III. Si l'élément a de E n'a pas d'homologue dans F, il en est de même de tout élément a'>- a.

Car si a' avait un homologue dans F, il en serait de même pour a, d'après IL

IV. L'ensemble des éléments de E qui ont des homologues dans F, s'il n'est pas identique à E, constitue un segment de E.

Car, s'il y a des éléments de E qui n'ont pas d'homologues dans F, l'un d'eux a un rang inférieur à tous les autres; soit a. Tout élément -^« a un homologue dans F. tandis que, d'après III, tout élément )- a n'en a pas. Donc l'ensemble des éléments de E ayant des homologues dans F est constilué par le segment de E déterminé par a.

V. Si deux ensembles bien ordonnés E e^ F sont tels que tout élément de l'un a un Jiomologue dans l'autre, ils sont semblables.

Je dis que la loi d'homologie des éléments de E et de F est une application de E sur F. Il suffit de prouver que, étant donnés deux éléments quelconques a et a' de E et leurs homologues b et // de F, la condition a -{a' entraîne b -^ b' .

Les segments V de E déterminé par a' et B' de F déterminé par 6' sont semblables. Donc A, qui est segment de A', est tel qu'il y a dans B' un segment B, qui lui est semblable. Ce segment appartient à F et il est unique dans F. Or, A est semblable à B, puisqvie a el b sont homologues. Donc, B est ideiilicpie à B,. Donc, B est un segment de B', donc b -^ b' .

Considérons deux ensembles bien ordonnés quelconques. Deux cas sont possibles. Ou bien tout élément de l'un a un homologue dans l'autre : les deux ensembles sont semblables, d'après V. Ou bien il y a au moins un élément de l'un des ensembles qui n'a pas d'homologue dans l'autre. Etudions ce cas.

Supposons que dans E il existe des éléments n'ayant pas d'homologues dans F. D'après IV, l'ensemble des éléments de E qui ont des homologues dans F est un segment A déterminé par un élément a. Je dis que l'ensemble des éléments de F qui ont des homologues dans E (lesquels font nécessairement partie de A) est identique à F; en effet, si cela n'était pas, d'après IV, cet ensemble serait un segment B de F déterminé par vin élément b', les ensembles A et B seraient tels que tout élément de l'un aurait un homologue dans l'autre; ils seraient semblables, d'après V; donc a et b seraient homologues, contrairement à ce fait que b n'a

pas d'homologue dans E. A et F sont tels que tout élément de l'un a un homologue dans l'autre ; donc F est semblable au segment A deE.

En résumé, nous sommes parvenus au théorème fondamental suivant qui est la conclusion de toute cette étude :

TnÉortÈAiE. — Etant donnés deux ensembles bien ordonnés E et F, ou bien ils sont semblables, ou bien V un est semblable à un segm.ent de Vautre.