III. — Les ensembles bien ordonnés dénombrables
2i. Etant donnés deux ensembles bien ordonnés E et F, nous dirons que E est plus étendu que F, si F est semblable à un segment de E.
Proposons-nous de former des ensembles bien ordonnés de plus en plus étendus. Nous y parviendrons au moyen des procédés généraux suivants, que nous avons déjà eu l'occasion d employer dans des cas particuliers.
Premier procédé. — Etant donné un ensemble bien ordonné dans lequel un élément « a un rang supérieur à tous les autres, on forme un ensemble bien ordonné plus étendu, en ajoutant à l'ensemble un élément b qui a un rang supérieur à a.
Le nouvel ensemble est bien ordonné; car toute partie de cet ensemble, si elle ne se réduit pas au seul élément b. contient des éléments du premier ensemble. L'un d'eux possède un rang inférieur aux autres; il conserve sa propriété dans le nouvel ensemble.
Comme exemple d'application de ce procédé, citons la formation d'un ensemble dont les éléments correspondent aux entiers I, 2, .... V, V -h I, quand on part d'un ensemble dont les éléments correspondent aux entiers i . 2, .... v.
De même, partant d'un ensemble d'éléments d'indices
nous avons appris à former un ensemble contenant ces éléments, et en plus un élément d'indice [lù -j- i).
Deuxième procédé. — Supposons que l'on sache former une infinité d'ensembles bien ordonnés A,, Ao, ..., Av, ... dans les conditions suivantes : A, est un segment de A2, A2 est un segment de A3 et, d'une façon générale, Ay est un segment de Av^,. Je dis que nous pouvons former un ensemble B qui soit bien ordonné et tel que chacun des ensembles A,, Ao, ..., Av, ... soit segment de B. Procédons de la façon suivante : nous prenons d'abord les éléments de A), puis nous plaçons à la suite, et dans leur ordre relatif, les éléments de Ao qui n'entrent pas dans A< ; à la suite, les éléments de A3 qui n'entrent pas dans A2, et ainsi indéfiniment. Soit B l'ensemble ainsi formé. Je dis qu'il est bien ordonné si Ton convient que : i" de deux éléments qui appartiennent à un même ensemble Av sans appartenir ni l'un ni l'autre à Av i, l'élément de rang inférieur est le même que dans Av; 2" pour deux éléments introduits dans deux opérations différentes de rangs v et v', l'ordre des éléments est celui des opérations.
Il faut prouver que toute partie B' de B a un élément initial. Soit A)^ la partie de B' comprise dans A,,.
Si A', contient effectivement des éléments, l'un d'eux a un rang inférieur à tous ceux de A', et, par suite, à tous ceux de B'. Si A' ne contient pas d'élément et si A'^ en contient, l'élément initial de A., répond à la question. Si ni A'^ ni A', ne contiennent d'éléments, nous raisonnons sur A',, et ainsi de suite. En répétant ce raisonnement, on arrive, au bout d'un nombre fini d'opérations, si B' contient réellement des éléments, à un ensemble A^ non nul, dont l'élément initial est l'élément initial de B'.
Ainsi B est bien ordonné. Remarquons qu'il ne possède pas d'élément de rang supérieur à tous les autres. Soit, en effet, un élément «. Il a été introduit par l'opération de rang v. Les éléments de Av+( que nous introduisons dans l'opération suivante ont un rang supérieur à celui de a.
Comme exemples, considérons les ensembles dont chacun est segment du suivant, et dont les éléments correspondent :
Ceux, de Al à i;
Ceux de A2 à i, 2;
Ceux de Ay à i, 2, .. v,
LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFIMS. o'
L'ensemble dont les éléments correspondent à
où V prend toutes les valeurs entières possibles, est formé par application du second procédé.
Nous avons appris à former des ensembles dont les éléments correspondent : ceux de A, à
I, 2, ..., V, ...; ceux de Ao à
I, 2, ..., V, ..., co, u)-T-i, ..., aj-4-v, ..., et généralement ceux de A), quel que soit À, à
', 5, ••., V, ..,, ta w — V, ...,
wfX — i), ..., io(X — i)-f-v,
Le second procédé, appliqué à ces ensembles, permet de former un ensemble B dont les éléments correspondent aux expressions
1 et V recevant toutes les valeurs entières.
Troisième procédé. — Étant donné un ensemble bien ordonné dans lequel aucun élément n'a un rang supérieur à tous les autres, on ajoute un nouvel élément qui a un rang supérieur à ceux de tous les éléments donnés.
11 est évident que, en conservant la relation d'ordre, on a encore un ensemble bien ordonné.
Par exemple, aux éléments composantes deux ensembles formés dans les exemples précédents, d'indices
et
on ajoute respectivement un élément dïndice co et un élément d'indice to^.
Les trois procédés précédents, appliqués à des ensembles dénombrables, conduisent à des ensembles encore dénombrables.
La proposition est évidente dans le cas du premier et du troisième procédé, puisqu'on n'ajoute qu'un élément à un ensemble
dénombrable donné. Pour le deuxième procédé, la proposition résulte du fait que la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable (').
25. Nous allons faire, sur les ensembles bien ordonnés dénombrables, l'étude inverse de la précédente. Nous allons montrer qu'un tel ensemble peut être déduit d'ensembles moins étendus par application des trois procédés indiqués.
Étant donné un ensemble bien ordonné dénombrable E, deux cas différents sont possibles :
i" E possède un élément ayant un rang supérieur à celui de tous les autres. Soit a cet élément, E' l'ensemble des autres éléments. E se déduit de E' par le premier ou par le troisième procédé, selon que E' a ou non un élément de rang supérieur.
2" E ne possède pas un élément de rang supérieur à tous les autres. Nous allons voir qu'on peut obtenir E par application du deuxième procédé.
L'ensemble E étant dénombrable, ses éléments peuvent être rangés en une suite correspondant à celle des nombres entiers
D'autre part, puisqu'il n'y a pas d'élément de rang le plus élevé, il existe un élément de rang supérievir à tout élément déterminé.
Partons de l'élément a^. La suite (i) contient une infinité d'éléments de rang supérieur à «< . Prenons parmi eux celui qui a, dans (ij, le plus petit indice, soit a^ . Xo est au moins égal à 2, et ax, a un rang supérieur à tous les éléments qui le précèdent dans la suite (i).
Dans la suite d'éléments
nous prenons le premier a^^, qui ait un rang supérieur à a,^. a^^ a dans E un rang supérieur à tous ceux qui le précèdent dans la sviite (i). On peut continuer l'application de la méthode indéfini-
(') Voir Leçons sur la théorie des fonctions, par E. Borel, Chapitre I.
LES ENSEMBLES BILX ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFINIS. Sg
ment. On forme de cette manière une suite
(•2) rt, -<(«>,-<< a>, -<(...-<<«),, -^...,
chaque élément de la suite (2) avant un rang supérieur à tous ceux qui le précèdent dans la suite (i); on a de plus
Je dis qu étant donné un élément quelconque de E, il v a dans la suite (2) des éléments qui ont un rang supérieur à lui. Car cet élément figure dans (i) à un certain rang; supposons que ce soit I élément a^,. Nous avons
L'élément «à^^.! a un rang supérieur à tous ceux qui le précèdent dans (i), en particulier à a.^.
Ainsi, étant donné l'ensemble bien ordonné dénombrable E, dont aucun élément n'a un rang supérieur aux autres, on peut extraire de E une suite d'éléments de rangs toujours croissants, et telle que chaque élément de E a un rang inférieur à un élément de cette suite.
Nous en concluons que E peut être obtenu par application du second procédé de formation en partant d'ensembles moins étendus que lui. Considérons en effet l'ensemble A, des éléments de E qui ont un rang inférieur à «,, l'ensemble Ao des éléments de rang inférieur à «>^, et ainsi de suite. Chacun de ces ensembles est moins étendu que E. puisqu'il en est un segment, et le second procédé, appliqué à ces ensembles, donne lensemble E.
En résumé, les trois procédés indiqués suffisent pour nous donner tout ensemble bien ordonné dénombrable en partant d'ensembles dénombrables moins étendus que celui-là.
26. L'analyse précédente nous conduit aux définitions suivantes : Dans un ensemble bien ordonné dénombrable, nous distinguerons deux espèces d'éléments : un élément a est dit àe première espèce si le segment A, déterminé par a, possède un élément de rang supérieur à tous les autres. Dans le cas contraire, a est dit de seconde espèce.
Etant donné un élément a de seconde espèce, il est possible, d'après ce que nous venons de voir, de former une suite d'éléments
4o CHAPITBE II.
de A, tti, a^i . . ., «v? • • • satisfaisant aux conditions
et telle que chaque clément de A ait un rang inférieur à certain élément a^.
L'ensemble E contient des éléments de rang supérieur à tous les éléments a^^ et l'un d'eux a un rang inférieur à tous les autres : c'est l'élément a.
Réciproquement, étant donné un ensemble bien ordonné E, supposons que l'on considère une suite d'éléments appartenant à cet ensemble, telle que
et supposons que E contienne des éléments ayant un rang supérieur à tous les éléments a-^. Parmi les éléments ayant cette propriété, l'un a un rang inférieur à tous les autres. Soit a cet élément. Étant donné a' qui a un rang inférieur à a, je dis que a' a un rang inférieur à certains a^. Sinon il aurait un rang supérieur à tous les «v; et, d'après la définition de a, serait soit identique, soit de rang supérieur à a, contrairement à l'hypothèse. En résumé, nous avons d'une part une suite d'éléments
d'autre part un élément a, tels que : i° «v-^a, quel que soit v; 2° tout élément a' qui a un rang inférieur à a a un rang inférieur à certains a^.
Nous exprimerons ce double fait en disant que a est Vêlement limite de l'élément a^^ quand v croît indéfiniment, et que la suite a,, «25 ..., «V3 ••• est une suite fondamentale définissant l'élément a.
11 y a lieu d'étudier sous quelles conditions deux suites fondamentales définissent le même élément limite. Si ces conditions sont remplies, les deux suites sont dites équivalentes.
La condition nécessaire et suffisante pour que deux suites soient équivalentes est que, étant donné un élément quelconque de Vune, il existe dans l'autre un élément ayant un rang plus élevé.
LES ENSEMBLES BIEN ORDONNES ET LES NOMBRES TRAXSFIMS. Hl
Considérons deux suites fondamentales
La condition énoncée est nécessaire, car, si elle n'est pas remplie, il existe par exemple un élément by- tel qu aucun élément a-, n'a un rang supérieur à 6v'. Il n'y a donc aucun élément a^ identique à by' (sans quoi nous aurions «v+i^ by) et by' est, par suite, de rang supérieur à tous les Oy. Donc by- est, soit identique à a, soit de rang supérieur à a. L'élément b, limite de by-, possède, a fortiori, un rang supérieur à a. Ce serait l'inverse s'il existait un élément Œy tel qu'aucun by- ne lui soit supérieur en rang.
La condition est suffisante. Car, supposons qu'étant donné un élément Ov, il existe un élément by- tel que Oy'-i^by'. 6 a un rang supérieur à by-^ par suite à tous les Oy. Il est donc soit identique à a, soit de rang supérieur à a. D'après l'hypothèse réciproque, a est soit identique, soit de rang supérieur à b. Donc a et b sont identiques.
Y\ . — Les nombres transfinis.
27. La notion fondamentale qui nous a guidés dans l'étude des questions précédentes est celle d'ordre relatif. Nous avons fait abstraction de la nature des éléments des ensembles pour nous attacher seulement à l'ordre relatif des éléments entre eux. Nous allons maintenant introduire des notions et des notations nouvelles qui serviront à fixer le rang propre à chaque élément dans les ensembles bien ordonnés.
La théorie élémentaire des nombres entiers met en lumière deux ordres de faits importants. Eji premier lieu, si Ion considère un assemblage d'objets et si l'on fait abstraction de leur nature pour ne voir en eux que des unités identiques entre elles, on est amené à la notion de nombre entier. En second lieu, cette notion étant considérée comme acquise, on s'occupe, pour la commodité, de donner des noms et des représentations aux différents nombres entiers ou tout au moins à certains d'entre eux.
De même, pour les ensembles bien ordonnés, on conçoit qu'il
peut être utile, pour fixer la notion de rang dans un tel ensemble, d'attacher un terme nouveau à cette notion et de procéder comme si tous les éléments d'un ensemble bien ordonné avaient des rangs déterminés une fois pour toutes. Or, nous avons vu que les nombres entiers étaient insuffisants pour remplir ce but ; nous leur adjoindrons de nouveaux signes qui seront les nombres transfinis. La notion qui se dégage ainsi de la considération des ensembles bien ordonnés, comme la notion de nombres entiers se dégage de la considération d'un assemblage d'objets, est la notion de nombre oïdinal Jinl ou transjlni. Nous attribuons aux éléments d'un ensemble bien ordonné des rangs qui seront les nombres ordinaux finis et transfînis. D'après cela, ces nombres ordinaux devront être tels que dans un même ensemble bien ordonne deux éléments diflerents correspondront à des nombres ordinaux différents, le nombre ordinal a qui correspond à l'élément de rang inférieur étant considéré comme inférieur au nombre ordinal fj qui correspond à l'élément de rang supérieur^, ce que l'on notera : a <; j3. Dans deux ensembles bien ordonnés semblables, deux éléments homologues devront être considérés comme ayant le même rang, c'est-à-dire correspondant au même nombre ordinal. Puisque par définition les nombres ordinaux désignent les rangs des éléments d'un ensemble bien ordonné, ces nombres constituent eux-mêmes un ensemble bien ordonné.
La notion de nombre ordinal transfini une fois acquise, il y aura lieu, dans un but de commodité, de définir une fois pour toutes des signes et des termes destinés à désigner les nombres transfînis, ou du moins certains d'entre eux.
28. Parmi les nombres ordinaux doivent figurer les nombres entiers positifs, puisqu'un ensemble fini d'éléments rangés dans un ordre déterminé est bien ordonné. Suivant les cas, nous ferons commencer la suite des nombres entiers à o ou à i .
Nous dirons que l'ensemble des nombres entiers positifs (avec o dans certains cas) forme la classe I des nombres ordinaux. Les nombres ordinaux autres que les entiers positifs et nul sont les nombres transjinis.
Occupons-nous des nombres transfinis qui sont nécessaires pour définir les rangs des éléments dans les ensembles bien ordonnés
LES EXSEMBLKS BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBUES TRANSFINIS. 43
dénombrables. Nous dirons que ces nombres constituent la classe II de nombres ordinaux.
Ainsi le signe (o introduit au Chapitre I est un nombre transfini et appartient à la classe II. C'est d'ailleurs le plus petit des nombres de la classe II, car dans tout ensemble bien ordonné infini pour lequel il existe des éléments autres que ceux qui correspondent aux entiers i. 2, ..., v, .... celui qui a le rang inférieur correspond au nombre transfini w.
Interprétons les résultats relatifs aux ensembles bien ordonnés dénondîrables, en particulier la distinction des éléments d'un tel ensemble en deux espèces. Ln nombre sera de première espèce s'il est défini comme étant le nombre immédiatement supérieur à un nombre déjà défini. Nous définirons comme il suit un nombre de deuxième espèce : étant donné un système dénombrable A de nombres appartenant aux classes I ou II, ce système ne contenant pas de nombre plus grand que tous les autres, on crée un nombre transfini, qui, par définition, suit immédiatement tous les éléments de A. On sait que dans A il est possible de former une suite de nombres
cette suite ayant la propriété que tout élément de A est inférieur à certains éléments de la suite. Le nombre a que Ton introduit et qui est. par définition, le nombre immédiatement supérieure ceux delà suite (i) sera appelé nombre limite de a^. Ce nombre appartient à la classe II ; car il est possible de former un ensemble dénombrable et dans lequel les divers éléments correspondent aux éléments de A et à a.
Deux suites de nombres ordinaux telles que (i) ont la même limite, sous la condition que pour tout nombre de l'une des suites il y ait dans l'autre un nombre supérieur. C est là une conséquence immédiate de la proposition analogue relative aux ensembles (n"26).
Etant donné un ensemble dénombrable A de nombres appartenant aux classes I et II, il existe des nombres de ces mêmes classes supérieurs à tous ceux de A. Car, ou bien dans A un certain nombre est plus grand que tous les autres; alors, le nombre qui suit celui-là répond à la question. Ou bien la condition n'est pas
remplie et le procédé précédent permet de former un nouveau nombre supérieur à tous ceux de A et qui appartient à la classe II. Cette proposition montre que Pensemble des nombres de la classe II n^ est pas dénombrable.
29. Indiquons maintenant les conventions à l'aide desquelles on désigne les premiers nombres transfinis (').
Après les nombres i, 2, . . ., v, . .. qui constituent la classe I, on place w; par définition, ti)>'V, quel que soitv, et
o) = lim V.
Après co, viennent
tu -h I , W -<- 2, . . . , tO -+- V , ....
La limite de cette suite est w x 2 ou co . 2.
Après oi . 2, on place (0x2+1, . . ., w x 2 + v, ...
lim (tu X 2 -f- v) = to X 3.
D'une façon générale,
lim [w(X l)-(- v] ;:= tO X )..
On définit ainsi co X )^ + v, où A et v prennent toutes les valeurs possibles. Il n'j a aucun nombre de cet enseml)le supérieur à tous les autres. Dans cet ensemble, nous pouvons former une suite fondamentale. Ce sera, par exemple, la suite :
w, co X ■>-, w X 3, ..., co X X, ...,
OÙ \ prend toutes les valeurs possibles. Nous désignerons par cola limite de cette suite
lim w X X = 0)2.
(') Dans la théorie de M. G. Cantor, ces notations résultent de la définition de certaines opérations effectuées sur les nombres ordinaux, telles que : addition, multiplication, etc. Sans méconnaître l'intérêt de cette théorie, comme nous n'aurons pas à en faire usage et que les nombres transfinis n'interviendront dans nos applications que par leurs propriétés d'ordre relatif , nous avons adopté un mode d'exposition dans lequel nous ne faisons intervenir que celte notion d'ordre.
Après <i)2 nous plaçons
et nous posons
liin (aj*-4- v) = w--i- w.
Puis, à Cl)- + w, nous ajoutons l'unité, etc., et nous posons
lim ( (I)- -^ oj -i- V ) =r w* -r- co X 2. v= »
Nous définissons en continuant ainsi le nombre (o- -^ to x a -f- v, où A et V sont des entiers positifs quelconques. La limite de ces nombres, quand A croît indéfiniment, sera désignée par w- X 2.
Puis, nous considérons des nombres de la forme
to- X 2 -j- O) X À -i- V
et nous posons
lim (a>* X 2 ^ w X À ,1 = oj- X 3. ).= «
Nous formerons en continuant ainsi des nombres du type
et nous noterons
liiu cj- X X = tu'.
On formera des polynômes du troisième degré en tu, comme on en a formé du second, puis des polynômes de degré quelconque u, r soit :
OÙ les a sont des entiers positifs ou nuls (sauf ao, toujours >»o). Pour comparer A à un nombre analogue B :
co"' 3() ■+- Co^~* 3i — . . . -=- wSv— 1 — Jy.
et décider quel est le plus grand, on procède ainsi : Si |jl > v, A >> B ; si 'JL = V, et si ao >> 3o, A> B ; si jx = v, ao = ,3o, nous comparons les termes suivants comme nous avons comparé les premiers. Si a, et 3, existent, et si a, > ^3,, A> B; etc.
Nous pouvons considérer comme définis les nombres transfinis
désignés par des polynômes en co. Dans l'ensemble de ces nombres, formons la suite fondamentale
O) < to^ < w^ < . . , < w'- < . . . .
11 y a lieu de désigner le nombre transfini immédiatement supérieur à tous ces nombres. Nous poserons
Avant d'étendre plus loin ces conventions, fixons d'une manière précise celles dont nous nous sommes servis.
Parmi les nombres définis, on a introduit certains nombres wY, Y étant un nombre considéré comme déjà défini. Les nombres qui se succèdent à partir de ojï sont définis de la façon suivante :
Après wT, on place des nombres de la forme toï + a, où a prend toutes les valeurs inférieures à o)T. Dans l'ensemble (oTH- a, il n'y a pas de nombre supérieur à tous les autres. Je désigne par toï x 2 le nombre immédiatement supérieur à tous ceux-là. J'ajoute à la suite tous les nombres coY x 2 + a, ovi a prend toutes les valeurs <; wY. En général, ayant défini wY x À, je considère l'ensemble wY xX H- a, où a prend toutes les valeurs inférieures à wY. Sa limite sera notée a)Y(), + i). Enfin, je considère l'ensemble de tous ces nombres introduits à partir de (oY. Par définition, le nombre transfini immédiatement supérieur à tous les nombres (oY X )v -h a sera le nombre toY x w que nous écrirons (jl)Y+'.
Ainsi, après lù'^^ nous introduirons les nombres w"» + a, a prenant toutes les valeurs inférieures à m^\ puis o)'^ x X + a, À prenant toutes les valeurs entières, et enfin o)'^+<. En recommençant cette même opération sur w'»>+', nous introduisons successivement les nombres co'^+2^ ^ ^ o)"+^, . . ., dont les exposants se suivent comme les nombres transfinis eux-mêmes.
Pour achever, si l'on a été conduit à considérer la suite
ce qui suppose
(oai<a)^2<. . .<w«v<. . .,
ai<a2<...<av<...,
l'élément limite de cette suite, nombre immédiatement supérieur aux éléments de la suite, sera noté oj'"»«v. Cette définition est lé-I-
time, car, si nous avons deux suites
Xi, aj, ..., av, ...
et
(Jl, J2, . . ., k>v' ...
définissant le même nombre, tout nombre co='v est inférieur à un certain nombre w?v , en prenant av<<,3v'5 et réciproquement; donc les suites w^v et (o?v. définissent aussi le même nombre.
C'est ainsi que, après w'^, nous considérerons le nombre transfini désigné par to élevé à une puissance égale à un polvnome quelconque en 10, et la limite de ces nombres sera w*^".
Remarquons que, chaque fois qu'on introduit une convention nouvelle, on ajoute de nouveaux nombres transfinis; mais, chaque fois, nous n'en définissons qu'une infinité dénombrable. On a appris à définir un ensemble où Ion a la suite fondamentale
a», wf^, ta^ , . . . , ww ^ . , ,
Si l'on veut désigner le nombre transfini limite de cette suite, on devra introduire un nouveau signe. En résumé, un svstème de conventions étant établi, on peut l'étendre, mais on ne peut pas donner un système de notations qui désignerait tous les nombres de la classe II. Cela ne nous empêche pas de pouvoir raisonner sur les nombres transfinis eux-mêmes, sans savoir tous les noter.
30. On sait quelle est, en mathématiques, l'importance du procédé de démonstration dit de récurrence, qui permet d'affirmer qu'une proposition est vraie pour un nombre ?i susceptible de prendre toutes les valeurs entières positives, si l'on démontre : 1° que la proposition est vraie pour les premières valeurs de n\ 2" que, si elle est vraie pour tous les entiers qui précèdent un nombre ii, elle est encore vraie pour Ji. jNous allons, en ce qui concerne les nombres des classes I ou II, indiquer un procédé analogue.
Théorème. — Si, dans l'énoncé d'une -proposition, figurée un nombre a susceptible de prendre toutes les valeurs des nombres des classes I et II, cette proposition sera démontrée pour toutes ces valeurs, si Von montre : i° que la proposition est
vraie pour les premières valeurs de a [pour <x = o ou pour a=:i); 2*^ que, si la proposition est démontrée pour tous les nombres a' inférieurs à un nombre déterminé a, a étant un nombre quelconque des classes 1 ou II, elle est encore vraie pour le nombre a.
En effet, supposons ces deux conditions remplies. Je dis que la proposition est vraie pour tous les nombres a des classes I et II. Car, si la proposition n'est pas vraie pour tous ces nombres, il en est pour lesquels elle n'a pas lieu, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres, y. y ne peut pas être le premier des nombres ordinaux, d'après i". Il y a donc des nombres inférieurs à y et, pour tous ces nombres, la propriété est vraie. Donc, d'après 2°, elle est vraie pour y, ce qui contredit l'hypothèse.
Pour démontrer la partie 2° il faudra, dans certaines questions, distinguer deux cas, suivant que a sera de première ou de deuxième espèce (').
31. Donnons quelques notions sur les ensembles bien ordonnés non dénombrables. Soit E un tel ensemble. Remarquons d'abord que tout ensemble bien ordonné dénombrable F est semblable à un segment de E, car E, ensemble non dénombrable, ne peut être semblable ni à F, ni à un segment de F. Donc, F est semblable à un segment de E.
Je dis que tout nombre des classes I et II désigne le rang d'un certain élément de E. Car, soit a un tel nombre. L'ensemble des nombres ■< a constitue un ensemble bien ordonné dénombrable, donc est semblable à un certain segment de E; l'élément de E qui détermine ce segment a donc pour rang a.
Supposons que, parmi les éléments de E, il s'en trouve qui déterminent un segment non dénombrable. Parmi ces éléments, il en existe un de rang inférieur. Soient a cet élément et A son segment. Le segment A est non dénombrable, tandis que si a! est de rang inférieur à a, le segment A' de a! est dénombrable. D'après ce que l'on vient de voir, A a des éléments correspondant à tous les nombres des classes I et II et réciproquement, tout élément de A
(') Quand a désigne un nombre ordinal de première espèce, nous conviendrons de noter le nombre précédent par a — i.
correspond à un nombre de l'une de ces classes. On peut donc dire qu'il y a correspondance entre les éléments de A et les nombres des classes I et II.
Par hypothèse, il existe dans E d'autres éléments que ceux de A, en particulier a . a est un élément dont le rang doit être considéré comme supérieur à tous les nombres des classes I et II, et parmi ceux qui jouissent de cette propriété, c'est celui de rang inférieur. Il convient de désigner ce rang par un signe qui sera, par définition, le premier nombre transfini supérieur à tous ceux de la classe II. Nous le désignerons par û ; 12 sera dit le premier nombre transfini de la classe III. Pour exprimer qu'un nombre ordinal a appartient aux classes I ou II, nous pourrons dire que l'on a a-<0.
