Ensembles dérivés cfordre quelconque

32. Appliquons aux ensembles de points les notions acquises au Chapitre II.

On a appris (Chapitre I) à former des ensembles de points P possédant des ensembles dérivés d'ordres :

Généralisons la notion d'ensemble dérivé. Étant donné un ensemble de points sur un segment de droite, et a étant un nombre des classes I ou II, nous allons définir l'ensemble dérivé d'ordre a de P, que nous noterons P°'. Pour que la définition s'applique à tous les nombres des classes I ou II, il suffit, d'après le procédé de récurrence généralisé, que la définition soit donnée pour a= i, et qu'étant supposée donnée pour tout nombre a', inférieur à un nombre a, elle soit donnée pour a.

P' a été défini. Pour la seconde condition, distinguons deux cas : si a est un nombre de première espèce, c'est-à-dire s'il a un précédent, a — i , P=' sera le dérivé de P°'~ ^ . Si a est de seconde espèce, il peut être considéré comme la limite d'une suite de nombres a, << a2<C • • •< o'-v<C • • •• Je suppose la définition donnée pour cliacun de ces nombres. Rappelons qvi'on a

pa,> pa2>, , ,> pav>.

Par définition, P°' est l'ensemble des éléments communs à tous les ensembles P°'v. Remarquons qu'on peut dire aussi que P'^ est l'ensemble des points communs à tous les ensembles P*' pour lesquels a'<< a.

Les ensembles dérivés sont des ensembles fermés.

LES ENSEMBLES LINÉAIRES. 5l

La chose est vraie pour P'. Supposons la proposition vraie pour tous les nombres iuférieurs à a et étendons-la à a. Si a est de première espèce, P» étant le dérivé de P*~' est fermé. Si a est de deuxième espèce, nous savons que l'ensemble des points communs aux ensembles fermés P^'t, P^i, P^'v, ... est lui-même

fermé (n° 14).

33. Montrons que, a étant un nombre quelconque des classes I ou II, il existe effectivement des ensembles de points possédant des déiivés d'ordre a et, en même temps, des fonctions discontinues pour lesquelles un tel ensemble est l'ensemble des points de discontinuité.

Ces faits ont été démontrés pour a ^ i . Admettons qu'ils soient vrais pour tous les nombres a' inférieurs à un nombre déterminé a, et étendons les résultats au nombre a. Supposons d'abord a de première espèce. Il existe un nombre a — i qui précède a. Considérons une suite de points M,, Mo, . . ., Mh, . . . tendant vers M {fig- 1 1)- chacun étant à la droite du précédent. Dans chacun des

intervalles M, Mo, M2M3, M„M„^,, ..., plaçons un ensemble

de points pour lequel existe un dérivé d'ordre a — i, ce qu'on sait faire par hypothèse. Si l'on considère l'ensemble P de tous les points obtenus, il y a, au voisinage du point M. des points de P^~« . Donc M est point limite pour P^~'. Donc P^ existe et contient M.

Si a est de deuxième espèce, il est limite d'une suite de

nombres a,, ao, .... x, Prenons une suite de points M,, Mo,

M„, ... tendant vers M {Jig. 11). Dans M, Mo plaçons un ensemble de points possédant un dérivé P*', dans M0M3 un ensemble possédant un dérivé P^^, et ainsi de suite. On constate que, dans le voisinage de M, tous les P^v ont des points. M appartient donc à tous les P^'. Donc P=' existe et contient M.

Considérons maintenant une fonction égale partout à o, sauf aux points de l'un ou l'autre des ensembles construits, pour lesquels elle est égale à i . Cette fonction admet ces points pour points de discontinuité et, par suite, l'ensemble de ses points de discontinuité possède un dérivé d'ordre a.

31. Faisons sur ces ensembles les remarques suivantes : si l'un quelconque des ensembles dérivés contient un nombre fini de

52 cinpiTHK m.

points, Feusemble suivant est mil. Réciproquement, si l'un des dérives est nul, je dis qu'il existe un dérivé qui possède un nombre fini de points. En effet, ])armi ceux des dérivés de P qui sont nuls, il j en a un dont l'indice est plus petit que tous les autres. Soit a cet indice. Je dis que a ne peut pas être un nombre de seconde

espèce. Sinon, a sei-ait limite d'une suite a,, ao, ..., av, Par

hypothèse, P^i, P^=, ..., P*', ... contiennent tous des points. Donc (n" 13), ils ont des points communs. Donc P^', qui est l'ensemble de ces points, n'est pas nul, contrairement à l'hypothèse. Donc, a est de première espèce et a un précédent, a — i. P=' étant le dérivé de P^~', Y*^~* contient un nombre fini de points (').

Étant donnée une fonction f définie sur un segment AB^ si l'ensemble P de ses points de discontinuité est tel quun de ses ensembles dérivés V'^ se compose d^ un nombre fini de points, f est limite de fonctions continues.

Le théorème est démontré pour a= i ; je le suppose démontré pour tout nombre a' inférieur à a. Je vais montrer qu'il est vrai pour a. Marquons les points M,, Mo, . . ., M^ dont se compose P^.

Nous pouvons appliquer le théorème I. Car, dans tout intervalle de AB ne contenant aucun de ces points, on a P^= o et il existe, d'après ce qui précède, un nombre a' inférieur à a, tel que P^' a un nombre fini de points. Donc, dans cet intervalle, f est limite de fonctions continues; il en est de même, d'après le théorème I, pour l'intervalle entier AB, ce qui démontre la proposition.