partie du dérivé P' et, par suite, aussi de P- P" P

et, d une manière générale, de tous les dérivés. Il est impossible que l'un de ces dérivés s'annule.

Cette remarque nous conduit à la définition suivante : nous dirons qu'un ensemble de points P est non dense dans le segment AB, si toute portion du segment AB contient une portion dans laquelle ne se trouve aucun point de P. D'après ce qui précède, un ensemble de points qui a un dérivé quelconque nul est non dense.

Voici maintenant une autre remarque. Dans les exemples que l'on a construits, aucun des dérivés successifs non nuls de P ne coïncide avec son dérivé, car, si ce fait se produisait pour l'un d'eux, il se répéterait indéfiniment et tous les dérivés suivants coïncideraient avec le premier; donc aucun d'eux ne serait nul.

36. Etant donné un ensemble fermé P, qui n'est pas identique à son dérivé, étudions ceux des points de P qui n'appartiennent pas au dérivé. Soit A un de ces points; A n'est pas limite pour P. Il existe donc un intervalle fini comprenant A à son intérieur et qui ne contient pas de points de P autres que A. Nous dirons que A est un point isolé de P. Dans les exemples étudiés précédemment, chacun des dérivés successifs, à partir de P', contient des points qui disparaissent dans le suivant. Par suite, P'^ est moins étendu que P', quel que soit v. Et, d'une façon générale, un ensemble quelconque est moins étendu que tous ceux qui le précèdent.

Mais il existe aussi des ensembles de points coïncidant avec leur dérivé, par exemple l'ensemble des points d'un intervalle AB (extrémités comprises).

On dit qu'un ensemble de points est parfait, s'il coïncide avec son dérivé. On voit qu'un ensemble parfait est fermé. On dit qu'un ensemble est dense en lui-même si chacun de ses points est limite pour l'ensemble. Donc, pour qu'un ensemble soit parfait, il faut et il suffit qu'il soit : i" fermé; 2° dense en lui-même.