Nous allons montrer qu'il existe des ensembles parfaits

non denses dans tout intervalle et faire une étude détaillée de ces ensembles.

Soit E l'ensemble des points du segment (o, i). Pour définir P, je définirai l'ensemble des points de E qui n'appartiennent pas à P, ensemble que je désignerai par E — P. Je divise le segment (o,i) en trois parties égales par les points 0' o ' et j'exclus les points intérieurs au segment médian {fig. 16). Je divise de même

Fi g. 16.

I — «^1 — mmMmmm ^m^ — 1

chacun des deux segments (o, ^^ j et (-, \\ en trois parties égales,

et j'exclus dans chacun d'eux l'intervalle du milieu. Il reste quatre intervalles non exclus; j'opère sur chacun d'eux comme j'ai opéré sur le segment (o, i), et ainsi indéfiniment. Par définition, E — P sera l'ensemble des points intérieurs aux intervalles exclus.

Pour étudier la nature des points de P, représentons les abscisses des points de E dans le système de numération de base 3. Dans un tel système, un nombre x^ compris entre o et i , est représenté par une série de la forme

chacun des entiers a étant égal à o, à i ou à 2.

Les nombres «(, «o, «s, ... se déterminent successivement de la

laçon suivante : «, est tel que, si 1 on pose x = — , on a :

Pour ^= ^ ou ^ = 7;, le système (a,, .r,) peut être choisi de

deux manières distinctes. (L'indétermination n'existerait plus si les conditions imposées à Xt étaient o^T, << i •) Dans tous les cas, Xf étant obtenu, on procède sur Xt comme sur x. On choisit a^

tel que ^, = ^ ,^ ' ' avec o^^To^i, et ainsi de suite. Tant qu'on

n'obtient pas une quantité Xi nulle, on n'est pas arrêté dans la suite des opérations.

Les nombres dont le développement est limité (c'est-à-dire pour lesquels les a sont tous nuls à partir d'un certain rang) sont de

la forme ~ (/> entier). Mais ces nombres sont également susceptibles d'un autre développement infini. Car on a

et par suite on a, par exemple :

Un nombre x qui n'est pas de la forme ^ est tel que les

nombres .r,, ^To, ^3, ... sont tous intér'ieurs à l'intervalle (o, i). Il n'y a donc jamais d'indétermination en ce qui le concerne. Par suite son développement, qui est infini, est unique.

Dans le procédé de définition de E — P, on a exclu d'abord les nombres pour lesquels «, = i , avec o << -T) <! i • A la seconde opération, on a exclu les nombres pour lesquels «, = o ou 2, «0=1 avec o <; -^2 -< I • A la /i"^"'® opération, on a exclu les nombres pour lesquels aucun des nombres «,, «7o, .... rt„). n'est égal à i, tandis que «„ ^ i , avec o << JC,, <^ i .

En résumé, les points exclus sont ceux pour lesquels, quelle que soit la représentation dans le système de numération de base 3, il existe au moins un chiffre du développement qui est égal à I .

Les points de P sont ceux qui ne satisfont pas à cette condition, c'est-à-dire qui sont représentés par un développement dont tous les chiffres sont égaux à o ou à 2. (D'ailleurs, certains points de P peuvent être représentés par un développement où figure le chiffre i. pourvu qu'il y ait un autre développement où la condition précédente soit remplie).

Étudions les propriétés de P. P contient d'abord l'ensemble e des points extrêmes de tous les intervalles exclus. Car une extrémité d'un intervalle exclu à la /i'^"*' opération est telle que les (n — i) premiers chiffres sont tous égaux à o ou à 2, Xn-i étant égal à | pour l'extrémité gauche et à § pour l'extrémité droite. Dans le premier cas, le développement infini qui ne contient que des 2, et dans le

second, le développement fini satisfont à la condition caractéristique des points de P.

Je dis que chacun de ces points est limite d'autres points de e. En eflet, considérons un point a {Jig. 17) qui soit l'extrémité

I om vm.mA — 1

gauche d'un intervalle exclu à la //'""" opération. Il y a, après cette opération, un intervalle dont a est l'extrémité di^oite, et qui se trouve conservé. Dans l'opération de rang /i + i, on divise cet intervalle en trois autres et l'on exclut celui du milieu. L'extrémité de droite a! de cet intervalle, qui fait partie de <?, se trouve au tiers de l'intervalle précédent. Si l'on recommence l'opération sur et! a et si l'on continue indéfiniment, on obtient des points tendant vers a. a est donc un point limite. Il est limite cV un seul côté, du côté opposé à l'intervalle exclu dont il est extrémité.

Il y a une infinité dénombrable d'intervalles exclus, puisque, chaque fois, on en exclut un nombre fini. Donc, l'ensemble e est dénombrable.

Je dis qu'il y a dans P d'autres points que ceux de e, à savoir ceux qui sont représentés par un développement infini où chacun des nombres ai est égal à o ou à 2, sans qu'il arrive jamais qu'à partir d'un certain rang ces nombres soient tous égaux entre eux. En efl'el, le développement d'un tel point est unique et aucun coefficient n'est égal à i, donc le point ne fait partie ni de E — P, ni de e. De plus, quel que soit n, le point en question se trouve, après la /i'*™" opération, à l'intérieur d'un intervalle conservé.

Pour citer un exemple de pareils points, prenons celui dont l'abscisse possède un développement où les quantités a^sont alternativement o et 2. Elle est égale à

Considérons un de ces points, /. Je dis que / est point limite de points de P, et des deux côtés à la fois. En effet, au bout de

a opérations, la longueur de chaque intervalle conservé est — >

et les extrémités de ces intervalles sont des points de P. Or, / est

LES ENSEMBLES LINÉAIRES. 'j-J

toujours intérieur à Tun de ces intervalles. Donc / est point limite pour P et des deux côtés à la fois.

Enfin, tous les points de P rentrent dans les deux catégories examinées. P est donc dense en lui-même.

Je dis que l'ensemble P est fermé; il suffit de montrer qu'un point M qui ne fait pas partie de P ne peut pas être limite pour P. En effet, M est intérieur à un intervalle exclu. 11 n'A- a donc pas de points de P au voisinage de M.

En résumé, P est dense en lui-même et fermé. Donc, il est parfait.

Je dis que P est non dense dans l'intervalle (o, i). Soit en effet sur cet intervalle un segment a,3 de longueur À. Au bout de l'opération de rang n, si n est suffisamment grand, la longueur — des

intervalles conservés est inférieure à À. a|5» contient donc une portion dont tous les points sont exclus.

Examinons la puissance de l'ensemble P. Considérons l'ensemble (/) des points / ou points de seconde espèce de P. Considérons d'autre part Tensemble R des points qui restent dans l'intervalle (o, i) lorsqu'on en retranche l'ensemble A des points dont

les abscisses sont de la forme --%■ , et écrivons les abscisses des

points de R dans le système binaire. Les développements seront de la forme

où chaque nombre a est égal à o ou à i, les a n'étant pas tous égaux à partir d'un certain rang.

On peut établir une correspondance biunivoque et réciproque entre les points de R et les points l. Il suffit de faire correspondre à ai = o, a/ = o et à «^ = 2, a,- = i . Donc, les deux ensembles ont même puissance. Or, R a été obtenu en supprimant dans le continu E un ensemble A dénombrable. Donc, (^) a la même puissance que E. Or, l'ensemble e des points de première espèce de P est dénombrable. Donc, P = e -\- l a la puissance du continu ( ' ).

(') Voir E. BoREL, Leçons sur la théorie des fonctions.

38. Étudions les propriétés générales des ensembles parfaits non denses. Soit P un ensemble parfait non dense dans un segment AB{a^a)^b). Je désigne par E l'ensemble des points d'abscisse x satisfaisant aux conditions

Soit M un point de l'ensemble E — P, d'abscisse .^o (Jig- i8). P étant parfait, M n'est pas point limite pour P. On pourra

Fig. i8.

donc trouver un intervalle comprenant M à son intérieur et où P n'aura pas de points. Il peut y avoir des points appartenant à P et d'abscisse inférieure à Xq. L'ensemble de ces abscisses a une limite supérieure x'. On a x'<:iXo. Le point M' d'abscisse x' est un point de P, puisque c'est un point limite de P. On reconnaît" de même l'existence d'un point de P, M", dont l'abscisse x" est limite inférieure des abscisses des points de P supérieures à Xq, dans l'hypothèse où il existe de tels points. En résumé, M se trouve intérieur à un certain intervalle M' M" qui a la double propriété suivante : i" aucun des points intérieurs au segment M'M" ne fait partie de P; 2° les points M' et M" font partie de P (sauf peut-être dans le cas où l'un de ces points se confond avec A ou avec B).

Désignons par X les intervalles qui possèdent cette double propriété. Deux intervalles \ distincts ne peuvent ni empiéter l'un sur l'autre, ni même avoir une extrémité commune. F.n effet, s'ils avaient une partie commune, une extrémité de l'un serait intérieure à l'autre. Ce point, étant intérieur à un intervalle )., serait distinct de A et de B, et ne ferait pas partie de P; mais cela esl contradictoire avec le fait que ce point est extrémité d'un autre intervalle \. Les deux intervalles n'ont pas d'extrémité commune, car ce point appartiendrait à P et serait isolé, ce qui est impossible, puisque P est parfait.

11 ne peut pas y avoir un nombre fini d'intervalles X. Sinon, il y aurait, à une unité près, autant d'intervalles dont tous les points

LES E>'SEyBLES LINÉAIRES. Sg

feraient partie de P. P ne serait pas un ensemble non dense. Donc, les intervalles À sont en nombre infini.

D'ailleurs leur ensemble est dénomhrable. En effet, ceux d'entre eux dont la long^ueur dépasse un nombre positif a sont en nombre fini, puisqu'ils n'empiètent pas l'un sur l'autre. Cela étant, considérons une suite de nombres positifs a,, a, a,, tendant

vers o. Prenons les intervalles de longueur supérieure à ai, puis, parmi ceux qui restent, ceux de longueur supérieure à ao. et ainsi de suite. Chacun des intervalles a se trouve ainsi obtenu, et nous pouvons les ranger en une suite correspondant aux nombres entiers.

Enfin, toute portion du segment AB doit contenir au moins une portion d'intervalle À, puisque dans toute portion de AB, doivent exister des points ne faisant pas partie de P. Nous exprimerons ce fait en disant que l'ensemble des intervalles A est partout dense dans AB.

En résumé, si P est un ensemble parfait non dense sur un segment de droite, il y a sur ce segment une infinité dénomhrable d^ intervalles constituant un ensemble partout dense dans AB, ces intervalles n'ayant deux à deux aucun point commun, et P est constitué par les points de AB qui ne sont pas intérieurs à ces intervalles.

39. Réciproquement, supposons que l'on se donne sur AB une infinité dénombrable d'intervalles a, formant un ensemble partout dense sur AB, et qui n'aient deux à deux aucun point commun. Je dis que l'ensemble P des points tels que chacun n'est intérieur à aucun de ces intervalles est parfait et non dense. Nous faisons la réserve que, si 1 un des points A ou B est extrémité d un intervalle À, nous le considérons comme intérieur à cet intervalle.

D'abord P est fermé. Car un point qui ne fait pas partie de P est intérieur à un intervalle À, et par suite n'est pas point limite de P.

Pour montrer que P est parfait, il reste à montrer que P est dense en lui-même, c'est-à-dire qu'un point de P ne peut pas être isolé. En effet, si le point K de P était isolé, il serait intérieur à un intervalle HI ne contenant de P que le point K. Considérons le

Go CHAPITRE III.

segment HK. Les points intérieurs à ce segment ne font pas partie de P. K en fait partie. Il existe donc un intervalle X comprenant les points intérieurs à HK et ayant K pour extrémité. De même, Iv est l'extrémité d'un autre intervalle \ comprenant les points intérieurs à Kl. Les deux intervalles À considérés ont donc une extrémité conniiune, ce qui est contraire à l'hypothèse. Doik; K n'est pas isolé. Donc P est parfait.

Enfin, P est non dense dans le segment AB, puisque l'ensemble des intervalles X est partout dense sur AB.

Nous dirons que les intervalles X, dont la connaissance équivaut à celle de P, sont les intervalles conligus à P.

Etudions la nature des points de l'ensemble parfait P. Une première catégorie de points est constituée par les extrémités de chaque intervalle X. Car un C|uelconque de ces points n'est intérieur à aucun intervalle \. Je dis qu'il existe d'autres points de P. Je montrerai pour cela cpie P n'est pas dénombrable, ce qui prouvera en même temps qu'un ensemble parfait n'est pas dénoml)rable. Nous démontrerons d'abord le lemme suivant :

Etant donné un ensemble parfait P situé sur un segment de droite AB, soit aj3 un intervalle de AB contenant à son intérieur au moins un point de P. Soit, d'autre part, M un point déterminé de P. // est possible de trouver un intervalle a([i(, de longueur aussi petite que l'on veut, intérieur à a[5, contenant à son intérieur un point de P et ne contenant pas M.

En effet, si l'intervalle a[3 contient intérieurement vm point de P, il en contient une infinité, puisque ce point est point limite pour P. 11 est donc possible de déterminer un point M, de P, intérieur à ajS et différent de M. Un tel point peut être entouré par un intervalle intérieur à a^ et ne contenant pas M. De plus ou peut prendre cet intervalle de longueur avissi petite que l'on veut.

Cela posé, démontrons que l'ensemhle parfait P n'est pas dénombrable.

Si P était dénombrable, nous pourrions ranger ses points en une suite M,, Ma, ..., Mv, ..., correspondant à celle des entiers. Prenons un intervalle a[S comprenant un point de P à son intérieur. 11 est possible de trouver à l'intérieur de a.^ un intervalle a, ^, ne contenant pas M( et contenant intérieurement des points de P,

LES KNSEMBLES LINÉAIRES. 6l

de même, dans ai,3|, un intervalle 7-2^2 ne contenant pas M^ et dans les mêmes conditions, et ainsi de suite. On détermine ainsi une infinité d'intervalles dont chacun est intérieur au précédent et contient des points de P, avec la condition que av3v ne contient aucun des points M|, M^, ..., Mv Ajoutons aux conditions précédentes la condition que Oy^ tende vers o, en nous astreignant

par exemple à ce que av,3v<; — !;• Dans ces conditions, il y a un

point H. limite commune des extrémités des intervalles o^^. H est intérieur à tous les intervalles ay^v? et par suite diflerent de tous les points My. C'est un point de P puisqu'il en est point limite, car, dans tout intervalle contenant H à son intérieur, on peut trouver un intervalle aySy et à l'intérieur de celui-ci un point de P. Ainsi P contient des points différents de M,, Mo, . . ., My, .... ce qui contredit Ihypothèse. Donc l'ensemble parfait P n'est pas dénombrable. Il contient donc d'autres points que les extrémités des intervalles A.

En résumé, un ensemble parfait ne peut pas être dénombrable; un ensemble dénombrable ne peut pas être parfait.

Étant donné un ensemble parfait non dense, rangeons les intervalles contigus eu une suite a,, Ao, . . ., À«. .... Si nous enlevons de AB les n premiers intervalles À, la plus grande longueur des segments conservés après la /i'^""' opération tend vers o quand /* croît indéfiniment. Sinon, elle resterait supérieure à une Ionsueur a, et il existerait dans ce cas sur AB un intervalle de Iongueur a dans lequel il n'y aurait pas de points exclus. P ne serait pas non dense dans cet intervalle.

On peut se rendre compte dune autre manière de l'existence des points de seconde espèce (c'est-à-dire autres que les extrémités des intervalles a). Soient^ les extrémités gauches des intervalles a et d leurs extrémités droites. D'après les hypothèses faites sur les intervalles A. étant donné un point g^ il existe toujours au voisinage de o^ et à gauche de g^ des points g et d, et pareillement, pour un point d donné, il existe à droite d'un tel point, et aussi près de lui qu'on veut, des points g et d.

Ceci posé, à gauche d'un point ^,, prenons un pointe?, {fig- 19)- A droite de dx prenons un point 0^2 q"» soit à gauche de gx . Nous

62 CHAPITRE m.

pouvons nous assujettir à la condition

Prenons d.^ à gauche de g2 tel que

, . difir-i

d-igi < — ; — >

et ainsi de suite. On obtient des points »,, c/,, ^27 d^, ..., gm dn, •' '1 se succédant de gauche à droite dans l'ordre

di, di, .... dn, ..., ffn, ..., ff2, g\'

Les intervalles gndn-, dngn^K tendent vers o. 11 y a donc un point

«7 <iri9n

limite commun aux points d,i et g,i' C'est un point limite pour P. 11 fait donc partie de P. Il est de plus limite des deux côtés à la fois. Il appartient donc à une espèce différente de celle des points g et d.

40. Pour donner une application de la notion d'ensembles parfaits non denses, revenons aux fonctions discontinues. Nous avons le théorème suivant :

Étant donné un ensemble parfait non densel?, la fonction f égale à o en tous les points de AB, sauf aux points de P où elle est égale à i, est limite de jonctions continues.

Tous les points de P sont des points de discontinuité puisque, au voisinage de chaque point de P, existent des points n'appartenant pas à P.

Je puis supposer que les points A et B sont des points de P. Sinon, on remplacerait A et B par les points extrêmes Ai , B^ , de P. Si la fonction est limite de fonctions continues sur A,B,, elle le sera sur AB.

Nous allons construire la fonction F(.r, y') correspondant à f dans les conditions du n° 5. D'abord, F sera égale à i sur toutes

LES ENSEMBLES LINEAIBES.

les parallèles à Oj' menées par les différents points de P, et limitées {Jig- 20) à la droite y = i, en particulier sur AA| et sur BB,. Cela posé, rangeons les intervalles contigus à P en une suite correspondant aux entiers positifs. Soit C|D, le premier de ces

Fiî

0| A Cj Dj c, D, B -^

intervalles. Menons les droites C|C, et D,Dj. Dans le rectangle C, D|D,Cî, il est possible de construire F en satisfaisant aux conditions du problème A (n° o). Car, sur C|D,. y ne présente que deux discontinuités. Tune en Ci. 1 autre en D,. Je mène

ensuite le segment A^Bo d'ordonnée -• J'achève la construction

de F dans les deux rectangles AoC, G', A, et D, BoB, Dj. en donnant partout dans ces rectangles à F la valeur 1 . La fonction F. dans toute la région où elle est définie, est continue par rapport à l'ensemble des variables. Poursuivons la définition de F. Je prends le second intervalle contigu CoDj, et je construis le rectangle CoD^C^D.^ dont le côté C^D^ est sur AoBj. Les valeurs de F à l'intérieur de ce rectangle peuvent, comme pour le rectangle C|D,C', Dj. être choisies en satisfaisant aux conditions du problème. Soit A3 B3 le segment défini par y=-- Dans les régions

situées au-dessus de A3B3 et où F n'est pas encore définie, donnons-lui la valeur i partout. En poursuivant indéfiniment l'application du procédé, la fonction F se trouve définie en tout point du rectangle et, pour un point donné, elle est définie après un nombre fini d'opérations. Elle est donc continue par rapport à l'ensemble (x, y) en chaque point intérieur au rectangle. Quant à la continuité de F aux points de Ox par rapport à y, elle est réalisée pour les points de P, puisque, sur une parallèle à O^, F est constante. Pour les points n'appartenant pas à P, chacun se trouve intérieur à un intervalle contigu GvDv C'est à la v'"™* opé-

64 CHAPITRE m.

ration que F(x,r) sera définie au voisinage de CvDy, et par construction elle sera continue en tout point de ce segment par rapport à y.

Donc /est limite de fonctions continues.