Etude générale des ensembles fermés
\\. Revenons à la théorie des ensembles de points que nous allons compléter. Indiquons d abord quelques résultats relatifs aux ensembles parfaits quelconques, denses ou non denses.
Soit P un ensemble parfait réparti sur un segment de droite. On a vu (n'' 38) que, sous la seule hypothèse que P est parfait, tout point n'appartenant pas à P est intérieur à un certain intervalle dont les extrémités font partie de P ; nous dirons encore que ces intervalles sont les intervalles contigiis à P; ils n'empiètent pas les uns sur les autres. Il y en a donc ou bien un nombre fini ou une infinité dénombrable.
Désignons maintenant par P un ensemble linéaire quelconque. On a défini l'ensemble dérivé d'ordre a. P='. a étant un nombi'e des classes I ou II.
Je dis que si un intervalle AB contient des points de P='. quel que soit a, il y a dans cet intervalle des points appartenant à tous les P^. En eflet, on reconnaît que, si Ion divise AB en deux segments AG, GB, la propriété appartient à l'un au moins de ces segments; en répétant le raisonnement, on forme une suite de segments possédant la même propriété, et dont chacun est contenu dans le précédent, et Ion peut faire en sorte que leur longueur tende vers o; dans ces conditions, il y a un point qui est commun à tous ces segments; ce point est donc limite pour chacun des P^ et appartient par suite à chaque P='. Il est naturel de désigner les points communs à tous les P^ par P^ ; nous dirons que P^ est le dérivé d'ordre Q de P.
P^ est fermé, puisque c'est lensemble des points communs à certains ensembles fermés (n° 14).
Dans un intervalle qui ne contient aucun point de P^, les P=' sont nuls pour cei-tains indices. Car, s'il y avait des points de P=',
quel que soit z, dans lintervalle, il v aurait des points de Pû d après une proposition précédente.
Dans un intervalle CD dont aucun point intérieur ne fait partie de Pû. il existe un a<Û tel qu'aucun point intérieur à CD ne fait partie de P^'. En eflet. plaçons entre C et D le point E {fig. 21);
Fig. 2..
Cv <^c,
plaçons entre E et C une suite C,, C.. . . ., G,, . . ., tendant vers C:
rhacun des intei^aUes C.E. CX, CC,, se trouve
dans les conditions précédentes. Pour chacun d'eux existe un
nombre a, tel que P» est nul dans cet intervalle. Soient z,, z.,
ly. ..., ces nombres. Il existe un nombre des classes I ou II. supérieur à tous ces nombres. En raisonnant de même sur ED, je vois que finalement il existe un nombre z tel que P^' ne possède aucun point à V intérieur du seg^ment total CD.
Je dis que P^ ne peut pas contenir de point isolé. Car, supposons quun point M de P^ soit isolé; on peut trouver un inter- \alle CD contenant M à son intérieur et ne contenant pas de point de Pî^ autre que M. 11 existe un nombre J tel que P»' ne contient pas de point intérieur à CM. un nombre z" tel que P*' ne contient pas de point intérieur à MD. Donc le plus grand z des deux nombres est tel que P^^ ne contient pas de point intérieur à CD autre que M. Donc M ne fait pas partie de P='+', ni par suite
• le P^, contrairement à Ihypothèse.
Donc. Pû, qui est fermé, est aussi dense en lui-même. P^ est un ensemble parfait.
P^ étant un ensemble parfait, il existe un ensemble dinter- \ ailes contigus tels que tout point ne faisant pas partie de P^ est intérieur à un de ces intervalles. A ces intervalles C,D,. ...,
