C-vDy, .... correspondent des nombres z,. z* 7^ tels que

"lune façon générale P=^ n"a pas de point intérieur à^CyD^. On peut lonc trouver un nombre z tel que P^ n"a de point à l'intérieur

• I aucun de ces intervalles. P» ne contient pas de points en dehors de P^. D'ailleurs P* contient tous les points de P^. Donc il existe «les nombres z tels que P='= P^.

En résumé, étant donné un ensemble P quelconque, ou bien il R. B. 5

j a des dérivés P=^ nuls, ou bien, si tous les dérivés existent quel que soit a, il existe un ensemble parfait 1^^ tel que les ensembles dérivés sont identiques à P^ à partir d'une certaine valeur de a. Dans le cas où il existe des ensembles déri/és nuls, on peut dire que l'ensemble commun à tous les dérivés est nvd. Nous dirons que ce cas est caractérisé par P^=o. Ainsi, dans les deux cas possibles, il existe toujours certains nombres a tels que l'on a P^= P^. Parmi les nombres a qui remplissent cette condition, il j en a un plus ])elit que tous les autres. Soit jS ce nombre. On a p3^ pû, et pour a <; [i, P='>>P^. PP est identique à son dérivé, c'est-à-dire est parfait ou nul, et si a est inférieur à [iJ, P^ contient des points qui n'appartiennent pas à Pî^.

42. Soit P un ensemble linéaire fermé, ({ue nous désignerons aussi, pour la symétrie des notations, par P". Étant donné un point M quelconque de P", ou bien ce point appartient à tous les P"', et alors il appartient à l'ensemble P^, ou bien il ne remplit pas cette condition. Examinons ce second cas. Il existe des nombres a tels que P* ne contient pas M, Soit y le plus petit de ces nombres, y ne peut pas être de deuxième espèce, car, si cela était, M faisant partie de tous les dérivés de rang inférieur à y, ferait partie de Pt. Donc, v est de première espèce et a un précédent ô. M est un point isolé de P^, autrement dit est un point de p8 p5+i. Il est évident que ps ps+i, pû'p5'+)^ ^i B ^ S',

n'ont aucun point commun. En effet supposons S <; o'. M, qui est isolé dans P^, ne fait pas partie des ensembles qui le suivent, en particulier de P^'. On peut résumer ces résultats par la formule

<i) po== v:(p6 p8+i)^pQ (r: = „, I, ... <i)),

où 0 prend toutes les valeurs «< Q, ou seulement, si l'on veut, les valeurs inférieures à jS, ^ étant le nombre déterminé plus haut. Cette formule signifie que tout point de P" appartient, soit à P^-^, soit à un ensemble P^ — P2+'. Remarquons enfin que pour toul nombre ô inférieur à |3, P^ — P^+i existe effectivement. Car, si pS — p8+( était nul, on aurait P2=p2+'. p8 coïncidant avec son dérivé, coïnciderait avec tous les ensembles qui le suivent, ce qui est impossible, puisque [i est le, plus petit nombre jouissant de dette propriété, et que o est inférieur à |îi.

43. Nous allons faire intervenir dans les considérations précédentes la notion de puissance.

On dit qu'un ensemble Q de points est isolé si chacun de ses points est isolé.

C'est le cas de chacun des ensembles P^ — P^'.

Je dis que tout ensemble isolé est dénombrable. En effet, soit M un point de Q supposé isolé, il existe un intervalle auquel M est intérieur et qui ne contient aucun point de Q autre que M. Autrement dit, les distances de M aux autres points de Q ont une limite inférieure positive 2 u.. J'entoure M d'un intervalle de longueur au. dont M soit le milieu, et je procède de même pour tous les points de Q. Deux de ces intervalles n'empiéteront certainement pas l'un sur l'autre, par suite ces intervalles forment un ensemble dénombrable {cf. n" 38). Gomme à chacun correspond un seul point de Q, l'ensemble Q est dénombrable.

Donc, dans la formule (i), chaque terme de la somme - est un ensemble dénombrable. Comme cette somme est étendue à une infinité dénombrable de termes, li(V^ — P^+') représente un ensemble dénombrable de points. D'ailleurs, si l'ensemble parfait P^ existe réellement, il n'est pas dénombrable. Donc :

Un ensemble fermé quelconque ou bien est dénombrable, ou bien se compose d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble parfait. ^

44. On appelle parfois ensemble réductible un ensemble pour lequel P^ est nul. Ln ensemble réductible est dénombrable.

Etant donné un ensemble fermé quelconque P, on a vu que tout point ne faisant pas partie de P est intérieur à un intervalle déterminé dont les extrémités seules font partie de P. Xous les appellerons encore intersralles contigus à P. Deux de ces intervalles n'empiètent jamais l'un sur l'autre, mais ils peuvent avoir une extrémité commune. Si cette dernière circonstance ne se présente pas, l'ensemble est parfait.

On peut effectivement former des ensembles fermés admettant des ensembles dérivés de tous les ordres, j compris P^, et pour lesquels P?^P^, 'p étant donné à l'avance.

Prenons un ensemble parfait Q. Dans chaque intervalle contigu, nous plaçons un ensemble fermé réductible avant un dérivé

LES ENSEMBLES LINEAIRES.

d'ordre ^3, ce dérive contenant des points autres que les points de O. On a appris à faire cette opération. Soit P l'ensemble total obtenu. P possède un dérivé d'ordre Q, qui est t), et le dérivé d'ordre [j contient des points autres que ceux de Q.

11 est intéressant de remarquer qu'un ensemble dénombrable peut avoir pour dérivé un ensemble parfait non dense, ou encore un ensemble tel que ceux que l'on vient d'étudier. Par exemple, soit Q un ensemble parfait non dense; l'ensemble formé par les extrémités des intervalles contigus est dénombrable et a pour dérivé l'ensemble O.