Définitions générales

4o. Les études précédentes sur les ensembles de points nous étaient indispensables pour étudier le rôle de la distribution des points de discontinuité dans les propriétés des fonctions. Il est temps d'introduire des notions nouvelles relatives à la continuité et à la discontinuité des fonctions les plus générales, notions qui nous permettront, comme on le verra, d'établir les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction discontinue soit limite de fonctions continues.

Nous allons considérer pour le moment des fonctions èi une seule variable, et nous les supposerons limitées.

^ious supposons la fonction f{x) définie pour toutes les valeurs de X de l'intervalle («, 6), c'est-à-dire qu'à toute valeur de x satisfaisant aux conditions aSx'Sb correspond une valeur de /.

Soit un intervalle CD pris sur le segment PQ représentatif de la variable x {fig. 22). Les valeurs de la fonction aux points de CD

Fis. 2a.

forment un ensemble de nombres qui a une limite supérieure M(y, CD), une limite inférieure ni{/, CD), enfin une oscillation

(o(/, CD) = M{/, CD) - m(/, CD).

Considérons un point A du segment. Entourons A d'un intervalle CD de longueur 20 et ayant son milieu en A. Supposons que l'on remplace p par un nombre p' plus petit. CD est remplacé par

jO CHAPITRE IV.

un intervalle plus petit. Dans ces conditions, M(CD), que je désigne aussi par Mp, ne peut pas augmenter; mp ne peut pas diminvier. On a donc

Mp^Mp', /Wp^/«p', wp2;wp'.

Donnons à p une suite de valeurs pi, po, ..., p„, ... décroissantes et tendant vers o. On obtient une suite de limites supérieures M donnant lieu aux inégalités

Mp,^Mp,^...^Mp„i;....

Ces nombres tendent vers une limite (qui est, comme l'on sait, leur bmite inférieure) que je désigne par M(/, A) et que j'appelle le maximum de la fonction f au point A. Etant donné un intervalle quelconque CD comprenant A à son intérieur, on reconnaît que, si n est assez grand, l'intervalle de milieu A et de longueur 2 p/j est contenu dans CD, d'où résulte

M(/,GD)iMp„^M(/,A).

Ainsi M(/, A) est la limite inférieure des nombres M(/, CD)^ CD étant un intervalle quelconque contenant M à son intéri-eur. Le nombre M(/, A) est caractérisé par la double propriété suivante :

1° Quel que soit le nombre e positif, on peut déterminer un intervalle CD auquel A est intérieur et en tout point duquel on a

2° Quel que soit le nombre e positif et quel que soit l'intervalle CD contenant A intérieurement, il existe dans CD un point A' tel que l'on a

On définit de la même façon m (/, A), minimum de f au point A. C'est la limite supérieure des nombres w(/, CD), CD étant un intervalle quelconque auquel A est intérieur. On a évidemment

Car m est au plus égal à /qui est lui-même au plus égal à M.

LES FONCTIONS d'uNE VARIABLE. 7I

Dans le cas particulier où y est continue au point A, on a

M(/.A) = i,i(/,Aj=/(A).

D'une façon générale, posons

On dira que b) est V oscillation de f au point A. On voit que tù est positive ou nulle. La continuité est caractérisée par (.o{f, A) = o. Si, en un point A, to est positif, il v a discontinuité en ce point.

46. Semi-continuité. — Un cas moins particulier que la continuité est celui où l'on a seulement

Dans le cas général, quel que soit s > o, on peut trouver un intervalle CD tel que, en tout point A' de cet intervalle, on a

Donc, dans cet intervalle, on a dans le cas actuel

Cette propriété est Tune des deux dont l'ensemble constitue la continuité. Nous dirons que /(A) eH semi-continue supérieurement au point A.

De même, si Ton a

et par suite, pour toute valeur positive de £,

dans un intervalle convenablement choisi, la fonction est dite semicontinue inférieurement au point A.

Si les deux propriétés ont lieu simultanément, la fonction est continue.

Une fonction sera dite semi-continue supérieurement ou inférieurement sur un intervalle si elle l'est en tout point de 1 intervalle.

Ces définitions étant posées, considérons le maximum M(/, A)

d'une fonction quelconque y(A) définie en chaque point du segment PQ. M(/, A) est une fonction définie en chaque point de PQ. Je désigne cette fonction par w(A).

Je dis que '^(A) est semi-continue supérieurement.

En effet, soient A un point de ^Q{Jiff- 22), s un nombre positif. Par définition de M(/', A), il est possible de trouvej- un intervalle CD intérieur à PQ, de milieu A, tel que l'on ait

M(/,CD)<.\I(/,A) + s.

Si A' est un point quelconque intérieur à CD, on a, d'après la définition de M(/, A'),