LES FONCTIONS D'CNE VARIABLE
Nous pouvons prendre un intervalle fini CD contenu dans chacun des précédents et contenant A à son intérieur. Pour un point quelconque A' de CD. les inégalités précédentes sont vérifiées. On a donc
ce qui exprime la propriété énoncée.
Remarquons enfin que si f est semi-continue supérieurement, — y est semi-continue inférieurement, car l'inégalité
se transforme en
Ceci montre que les propriétés des fonctions semi-continues supérieurement et inférieurement se correspondent deux à deux. L'oscillation (o(/", A) d^ une fonction f définie sur un segment PQ est une /onction semi-continue supérieurement; en effet, oi{/, A) est la somme des fonctions M(y, A) et — ni{/. A), semi-continues supérieurement.
Si une fonction / définie sur PQ est semi-continue supérieurement^ et si a. est un nombre quelconque, l'ensemble des points de PO où Ion a
est ferme.
En effet, soit A^ un point limite d'une suite de points Ai, Ao. ..., A„, .... en chacun desquels on a
Dans tout intervalle auquel Aq est intérieur, il existe des points de la suite A|, Ao, . . ., A„, , donc des points où l'on a
Donc, dans un tel intervalle, le maximum de la fonction est supérieur ou égal à a. Il en est donc de même de M(/, Aq). Or f est semi-continue supérieurement. Donc on a
M(/, Ao)=/(Ao).
Donc aussi
/(Ao)^a.
En particulier, étant donnée une fonction /, l'ensemble des points où l'oscillation est supérieure ou égale à un nombre positif a est un ensemble fermé.
¥!. Nous allons établir une distinction entre les diverses fonctions discontinues.
Supposons, comme premier cas, que la fonction/ jouisse de la propriété suivante : quel que soit le nombre s positif, il y a, dans tout intervalle de PO, un point au moins où l'oscillation est inférieure à £. Je vais montrer que, dans cette hypothèse, d existe, dans tout intervalle du segment PQ, des points où l'oscillation to est nulle.
Donnons-nous une suite de nombres positifs e,, £0,
Fig. 24.
, — I . Il» ' I ' ■
C, C2 B Dj D,
tendant vers o. Partons d'un intervalle CD {fig. a/j). Par hypothèse, il y a dans CD au moins un point A où l'on a
io(/,A)<ô,.
Mais w est semi-continue supérieurement. Je puis donc déterminer un Intervalle C,D,, contenant V à son intérieur et tel que, pour tout point A' de cet intervalle, on ait
co(/, A'X a)(/, A)-+-£i<'2£i.
Dans C,D,, je peux, par hypothèse, prendre un point A, tel
que
D'après la semi-continuité de w, je peux, dans cet intervalle, j prendre un intervalle Go Do contenu dans C, D,, tel que, pour tout |
point A' intérieur à Go Do, on ait |
fi
W(/, A')<W(/, Ai)-l-£2<2£2. I
On peut continuer ce raisonnement. On forme une suite d'intervalles G, D<, Go Do, . . ., G«D«, . . . CQntenus chacun dans le précé-
