LES FONCTIONS D OE VARIABLE

j dent et tels que, en tout point A' contenu dans C/iD,,, on a

Chacun des intervalles étant contenu dans le précédent, il j a au moins un point commun à tous. Soit B un tel point. L'oscillation au point B est inférieure à 2£„, quel que soit n. Donc elle est

nulle. On a donc

^ ce qui démontre la proposition.

ï -Ainsi, il y a un ensemble de points, dense dans PQ, tel que, en

f chacun de ces points, la fonction y est continue. La fonction / est dite ponctuellement discontinue. On voit que, pour une telle fonction, l'oscillation a son minimum nul dans toute portion de PQ et, par suite aussi, en tout point de PQ. Xous savons que

I l'ensemble des points où l'oscillation d'une fonction est supérieure ou égale à un nombre positif quelconque î est fermé. Pour

. une fonction ponctuellement discontinue, d'après la déCnition d'une ielle fonction, cet ensemble est non dense. Si la fonction y

: ne satisfait pas à cette condition, c'est qu'il existe d'une part un intervalle AB, d'autre part un nombre positif a tel que, en tout point de AB, on a

Les fonctions de cette nature sont dites totalement discontinues.

En résumé, une fonction est ponctuellement ou totalement discontinue suivant que son oscillation a son minimum partout nul ou non. (jVous faisons rentrer le cas d'une fonction continue dans le cas des fonctions ponctuellement discontinues.)

Citons, comme exemple de fonction totalement discontinue, la fonction qui, dans le segment (o, i), est égale à zéro pour tous les points d'abscisse rationnelle, à un pour les points d'abscisse irçalionnelle. Soit A un point de ce segment. Dans son voisinage, il y a des points de chaque espèce. Donc

Comme exemples de fonctions ponctuellement discontinues, on

peut citer toutes les fonctions étudiées au cours des précédents

I Chapitres, par exemple les fonctions pour lesquelles l'ensemble des

points de discontinuité est réductible. Car, dans tout intervalle, il existe un intervalle ne contenant pas de points de discontinuité.

Comme autre exemple, considérons la fonction définie comme il suit sur le segment (o, i). Pour a? = o, x = ï ,

Pour x = -,

Pour x = -, X = 7> 4 4

En général, pour les points .a? = ;4;' '■' ayant une valeur déterminée et cette fraction n'étant pas réductible, on pose

*^ ■?:' Pour tous les points dont l'abscisse n'est pas de la forme ^, posons

Je dis que cette fonction (qui a des points de discontinuité dans tout intervalle) est ponctuellement discontinue.

Car la fonction est continue en chacun des points dont l'abscisse n'est pas de la forme —^ • En effet, en un tel point A, on a

Donnons-nous un nombre positif s. Soit v un entier positif tel que

■.>y Nous pouvons prendre un intervalle contenant A et ne contenant

aucun des points ^, si A^v — i ; en tout point de cet intervalle, on aura

On peut ajouter que / est semi-continue supérieurement. La condition est remplie pour le point A considéré, puisque / est