LES FONCTIONS D ONE VARIABLE
continue en A. En un point déterminé A.' d'abscisse -^ i on a
Prenons un intervalle CD contenant A' de longueur inférieure à — • En tout point de cet intervalle, on a
/^:rv
Donc y est semi-continue supérieurement en A'. Elle Test donc en tout point du segment (o, i).
48. Nous allons montrer qu'une fonction semi-continue est ponctuellement discontinue. Montrons d'abord que, étant donnée une /onction /quelconque définie sur PQ, si l'on désigne par ç> la fonction M(y", A), la /onction o — / qui, en chaque point, est positive ou nulle, a, en tout point de PQ (et, par suite aussi dans toute portion de PQ), son minimum nul.
En effet, soit A un point de PQ. Soit £ un nombre positif. La fonction 3 étant semi-conlinue supérieurement, on peut déterminer un intervalle CD auquel A est intérieur et tel que, en tout point B de CD, on a
D'autre part, d'après la définition de o(A), aussi près qu'on veut de A, il est possible de trouver un point B tel que l'on ait
/(B)>=>(Ai-£.
11 existe donc aussi près que l'on veut de A des points B satisfaisant simultanément aux deux conditions. Retranchons-les membre à membre. Il vient
Comme le point B existe quel que soit s, cette inégalité signifie (lue 3 — / di son minimum nul en A.
On démontrerait le même théorème pour la fonction / — -i, y étant la fonction m {/ A>.
Ceci posé, démontrons la discontinuité ponctuelle d'une fonction/semi-continue supérieurement. Ici. les deux fonctions /et z-
sont identiques. Donc la fonction to égale à o — 'l est ici égale à y — 'h. D'après le Icmme précédent, w a son minimum nul en tout point. Donc, la fonction/ est ponctuellement discontinue.
49. Plaçons-nous au point de vue de la répartition des points de discontinuité. Nous avons vu, comme conséquence de la définition des fonctions ponctuellement discontinues, que, co étanl l'oscillation en chaque point d'une telle fonction, c un nombre positif quelconque, l'ensemble des points où l'on a (oJ^a est non dense, cette propriété ])Ouvant même servir de définition aux fonctions ponctuellement discontinues. Soit G l'ensemble de tous les points de discontinuité de la fonction considérée. On peut le considérer comme engendré de la façon suixante : donnons-nous une suite de nombres positifs o-,, cr^? •••? ^«^ ••• tendant vers o. Désignons par G« l'ensemble des points de PQ où l'on a co^o-/^. Nous définissons ainsi une suite d'ensembles fermés G|, Go, .... Grt, ... dont chacun est non dense dans PQ. Je dis que l'ensemble G des points de discontinuité est la réunion de tous les ensembles G,, Go, . . ., G«, .... En effet, tout point de chacun de ces ensembles est un point de discontinuité et, par suite, a])partienl à G. Inversement, tout point de G appartient à Tun de ces en semblés. Car, étant donné un point A de G, l'oscillation en ce point a une certaine valeur positive oj. 11 j a un nombre a-v<<('), zV fait partie de G^
Nous sommes conduits ainsi à une notion nouvelle sur les ensembles.
Nous dirons qu'un ensemble est de première catégorie dans un intervalle PQ, s'il est constitué parla réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles dont chacun est non dense dans PQ. Les en- .sembles de points qui ne sont pas de première catégorie sont dits de deuxième catégorie.
Donnons quelques propriétés des ensembles de première catégorie.
La réunion dhin nombre fini ou d^une infinité dénombrable d' ensembles de première catégorie est de première catégorie.
Car un ensemble de première catégorie est constitué ])ar une infinité dénombrable d'ensembles non denses. Or, la réunion d'une
LES FONCTIONS d'lNE VARIABLE. 79
infinité dénombrable d'ensembles dénombrables d'éléments est encore un ensemble dénombrable de ces éléments. Donc, la réunion d'un ensemble dénombrable d'ensembles de première catégorie constitue une infinité dénombrable d'ensembles non denses. C'est donc un ensemble de première catégorie.
Je dis que si G est un ensemble de première catégorie sur un segment PQ, il y a dans toute portion de PQ des points qui n'appartiennent pas à G.
Car G est formé dune infinité dénombrable d ensembles non
denses d, G2> ..., G^, Soit ah un intervalle pris sur PQ.
L'ensemble Gi étant non dense dans PQ, il est possible de déterminer dans ah une portion a, 6| ne contenant aucun point de G,. De même, dans a, 6,. il est possible de déterminer une portion Go^j ne contenant aucun point de Go, et ainsi de suite. Nous formons
une suite d'intervalles «, 6, «„^„, .... dont cbacun est contenu
dans le précédent, et tels que a,ih,i ne contient aucun point de G|, Go, . . ., G/i- Tl existe un point A appartenant à tous ces intervalles. Ce point n'appartient pas à G, puisqu'il ne peut appartenir à
aucun des ensembles G|. Go G„ La proposition est donc
démontrée. On voit que l'ensemble E — G des points de PQ qui n'appartiennent pas à G est dense sur toute partie de PQ. On \oit en outre que l'ensemble E n'est pas de première catégorie par rapport à lui-même: il est donc de seconde catégorie, ainsi que E — G.
Tout ensemble dénombrable est de première catégorie. C'est, en effet, la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles dont chacun est composé d'un élément, et est par suite non dense.
Proposons-nous de former un ensemble de première catégorie qui ne soit pas dénombrable et qui de plus soit dense dans le segment (o, i). Nous procéderons de la façon suivante : nous plaçons sur (o, i) Tensemble parfait non dense G» dont les points ont des
abscisses de la forme 2, ^' les nombres «„ étant tous égaux à ;;e/o
ou à deux. Nous considérons les intervalles contigus à G, : dans chacun de ces intervalles contigus, nous plaçons un ensemble avant par rapport à cet intervalle la position de G| par rapport à (o, i). Désignons par Go l'ensemble total, y compris G,. On reconnaît que Go
esl parfait et non dense. Dans chaque intervalle contigu à Go, opérons comme dans les intervalles conligus à G|. Soit G3 l'ensemble total des points obtenus après cette opération. Nous continuons indéfiniment. Soit G l'ensemble constitué parla réunion de G), G^, ..., G«, .... L'ensemble G est de première catégorie. Je dis (|u'il est dense. Car, pour G,, la plus grande longueur d'un intervalle contigu est -> pour Go, c'est — ; pour G«, c'est — - Cette longueur tend donc vers zéro. Donc, pour toute portion de l'intervalle (o, 1), il est possible de trouver 11 assez grand pour que G/j y possède des points, ^ensemble G est donc dense.
II. — Condition nécessaire pour qu' une fonction soit limite de fonctions continues.
50. Nous pouvons maintenant aborder l'étude des conditions (pie remplissent les fonctions limites de fonctions continues. Dans nos démonstrations nous ferons usage du lemme suivant :
Lemme. — • Etant donnés un ensemble T de nombres dont V oscillation surpasse un nombre positif o,\, et d'autre part un nombre a quelconque, on peut trouver dans T un nombre b tel t/ue l'on ait \a — b\ >> A.
l3ésignons les limites supérieure et inférieure de T par M (T) et m (T). Par hypothèse, on a
Ecrivons cette inégalité comme il suit :
Les deux nombres entre crochets ont une somme positive, donc l'un au moins est positif, et nous pouvons trouver un nombre positif £ inférieur à ce nombre. Supposons que ce soit le premier, on a
D'après la définition de M (T), il existe dans T un nombre b
LES FONCTIONS d'iNE VARIABLL". g|
lel que
On a donc, par addition,
Dans l'hypothèse où Ton a
on trouve de même un nombre 6 de T tel que
ce qui démontre la proposition.
ol. Ce lemme étant établi, supposons qu'on ait une suite de fonctions continues /,, /î- • • •• /v • • - toutes définies sur un segment PQ, et tendant vers une fonction /. Pour simplifier, nous supposerons / bornée. Je dis que/ est ponctuellement discontinue. Je vais montrer que rhvpothèse que/ serait totalement discontinue conduit à une impossibilité.
En effet, dans cette hypothèse, il existe un segment CD (Jig. 20)
Fig. 25.
C, A, Ao D,
et un nombre positif 2 À. tel qu'en tout point A de CD l'oscillation w(/, A) surpasse 2À. Prenons un nombre positif ;jl inférieur à ). et posons
t est positif. Prenons un point A» arbitraire de CD. La suite /, (A»), /2(Ao), ..., /v(Ao), ... a pour limite /(Ao). D'après cela, on peut trouver un nombre entier a tel que
^0 |/a(Ao)-/(Ao)i<s.
La fonction /„ est continue sur PQ. On peut donc déterminer un intervalle C, D, contenant Ao, contenu dans CD, et tel queu lout point A de C, D, on ait
<^) l/a(A)-/a(Ao)i<E.
Dans le segment C)D|, l'oscillation de la fonction^ surpasse 2).. En vertu du lemme du n" 50, il existe un point A, de G,D( tel que l'on a
La suite /, (A,),/>(A,), ...,/v(.V,), ... tend vers /(A,). On |)eut donc déterminer un entier [i> tel que
(4) |/p(AO-./(A,)|<£.
La fonction yg est-continue; nous pouvons trouver un intervalle CjDo contenant A,, contenu dans C|D(, et tel que l'on ait, en tout point A de C2D2,
De plus, tout point A de CoDo satisfait à (:>.).
En combinant par addition d'une part (i) et (2), d'autre part
(4) et ( 5 ), il vient
l/a(A)-/(Ao)l<2£, |/p(A)-/(A,)!<'>.s.
En rapprochant ces deux inégalités de l'inégalité (3), on a
l/a(A)-/p(A)l>X-4s, c'est-à-dire
Cette dernière inégalité est valable pour tout point A de CoDo.
D'autre part, nous sommes partis de la suite/, ,/2, ...,/y, .... Mais tous nos raisonnements sont valables, si l'on part de la suite /p+\, fp+2i •••• P étant un entier déterminé quelconque, et si, d'autre part, on remplace CD par une portion quelconque de CD. Donc, quel que soityO, on a pu trouver, dans toute portion de CD, une portion CoDo telle que tous les points A de CoD^ satisfont à (6), a et p étant certains nombres supérieurs à />, et par suite à
(7) io[/,,+ i(A),y/,^,(A), ...]>[^,
le premier membre désignant l'oscillation de l'ensemble des nombres compris dans le crochet.
LES FONCTIONS D'xTSE VARIABLE. 83
Donc, quel que soit p, l'ensemble Gp des points de CD qui ne satisfont pas à la condition (-) est non dense dans CD. Donnons
à p les valeurs i, 2, 3, .... v La réunion des ensembles G|,
G2, ....Gy, ... constitue un ensemble G de première catégorie dans CD. 11 y a des points qui n'appartiennent pas à cet ensemble. Soit A un tel point. A ne fait partie d'aucun des ensembles G|,
G2, • • .. Gv, Donc, il satisfait à l'inégalité (-), quel que soit/>.
Ceci est en contradiction avec le fait que /,^ (A) a une limite finie quand v croit indéfiniment.
Donc, toute Jonction limite de /onctions continues est une /onction ponctuellement discontinue.
Il est aisé de vérifier que tous les exemples donnés jusqu'ici -itisfont à cette condition. Nous pouvons, d'autre part, donner un txemple de fonction qui n'est pas limite de fonctions continues. Ce sera la fonction égale à zéro en tout point d'abscisse rationnelle t't à un en tout point d'abscisse irrationnelle ; car elle est totalement discontinue.
