Extension des résultats au cas d'ensembles par/ai ts

quelconques.

52. Nous allons donner une extension aux théories qui font l'objet des deux sections précédentes, en étendant les notions définies en parlant du continu au cas où l'on prend pour base de raisonnement, au lieu du continu, un ensemble parfait quelcon({ue.

Nous allons voir que le continu emprunte à sa qualité d'ensemble parfait les propriétés essentielles qui nous ont servi dans la plupart des raisonnements précédents.

Considérons une fonction / définie sur un ensemble parfait H

Fig. 26.

réparti sur PQ (^g'- 26). Soit aS un intervalle contenant à son intérieur des points de H.

Les valeurs de / aux points de H qui sont contenus dans a,3 ont

OlIAl'ITRK IV.

une limite supérieure, une Jimite inférieure et une oscillation. Nous appellerons ces nombres

M(/,n,a|i), m(/,ll,a.3,)

et

co(/,II,a3)--. M — m.

Prenons un point A de H. Considérons une suite d'intervalles a, |B,, ao^o? "•■) ^■ii'^ni ■••) dont chacun contient A et est contenu dans le précédent, la longueur de a„ |3/, tendant vers zéro (|uand n croît indéfiniment, l^e nombre M (/, H, a[i) ne va jamais en croissant. Il a donc une limite inférieure qui ne dépend pas de la suite des intervalles choisis. Ce nondjre sera appelé le maximum de f au point A relalivemeiit à H. Nous le désignerons par M(/, H, A). De la même manière, on définit le minimum relativement à H, m[f, H, A). \J oscillation to(/, H, A) est la différence de ces deux nombres.

A l'aide de ces définitions, nous ])ouvons introduire les notions de continuité et de discontinuité aux points de l'ensemble H relali\ementà cet ensemble. En un point A de H où l'on a (o(y, H, A)=:o, nous dirons que f est continue en A relativement à H. Si l'on a (0 (y, H, A) >> o, /sera dite discontinue en A relativement à H.

Si M (y, H, A)=y (A), nous dirons que y est semi-continue supérieurement relativement à H ; on reconnaît que, dans ce cas, quel que soit le nombre positif e, il est possible de déterminer un intervalle a^ auquel A est intérieur et tel que, pour tout point A/ de H compris dans ap, on ait /( A') <<y*(A) -|- e; et réciproquement, si cette condition est remplie, elle entraîne M =/•

On définit de même la semi-continuité inférieure.

Si l'on considère, pour une fonction quelconque /, la fonction -o ('•gale à M (y, H, A) en chaque point A de H, o est semi-continue supérieurement sur H.

Etant donnée une fonction semi-continue supérieurement sur H, et telle que son minimum par rapport à H soit égal à zéro en tout point de H, dans tout intervalle contenant des points de H, elle atteint effectivement la valeur zéro en des points de H.

Démontrons cette dernière proposition. Donnons-nous iuk; suite de nombres positifs S(, So, . . ., s„, . . ., tendant vers o. Nous pouvons trouver dans toute portion aîâ (h; PQ {fi g. 27) conte-

LES FONCTIONS d'iNE VARIABLE. 85

nant des points de H, un point A, intérieur à a,3, tel que

En vertu de la semi-continuité supérieure, nous déterminons un

Fiff. 0-.

intervalle a, ,3, contenant A, tel que, en tout point A de H contenu dans a||3|, on a

De même, dans a,|j,, nous déterminons un point Ao intérieur tel que

et, autour de Ao, un intervalle y..,p.2 contenu dans a, |i, tel que, pour tout point A de H contenu dans aa^o? on a

/(A)</(Aj.)-S,<'2E,.

et ainsi de suite. On obtient des intervalles successifs a, 3,

y-n^ni • ••' tels qu'en tout point A de H contenu dans a„p„, on a /^(A) -< 2 2,^. Chacun des intervalles étant contenu dans le précédent, il existe au moins un point de H contenu dans tous ces intervalles. En un tel point A Ion a

((uel que soit n. Donc, ./{-^) = o.

o3. Parmi les fonctions définies sur un ensemble parfait, nous pouvons faire les distinctions analogues à celles qui ont été faites quand on partait du continu. Il y a lieu de distinguer trois cas :

Premier cas. — La fonction définie est continue en tout point de H. C'est le cas où to est nul en tout point de H.

Par exemple, une fonction définie sur un segment PQ cl continue sur ce segment sera continue par rapport à tout ensemble parfait situé sur ce segment.

Pour donner un autre exemple, prenons l'ensemble parfait H

constitué par les points dont les abscisses sont de la forme

où an est égal à o ou à 2. Donnons kf en tous les points de H une valeur constante, et en dehors de H des valeurs quelconques : y sera continue sur H. Nous aurons encore une fonction continue si nous partageons H en deux ensembles partiels par un intervalle conligu, et si nous donnons à y la valeur o sut l'ensemble de droite, et la valeur i sur l'ensemble de gauche.

Deuxième cas. — Il existe pour/" des points de discontinuité; mais, dans tout intervalle contenant des points de H, et quel que soit le nombre £ positif, il existe des points de H où l'oscillation de y relative à H est inférieure à t. L'oscillation d'une fonction étant semi-continue supérieurement, il existe alors, dans tout intervalle contenant des points de H, certains points de H où cette fonction w est nulle, c'est-à-dire des points de continuité de y par rapport à H. La fonction est dite ponctuellement discontinue sur H.

Partons de l'ensemble parfait non dense H de l'exemple précédent. Aux points -, -5 donnons à f la valeur -; aux points

-, -, -1 -, donnons à /"la valeur — -• Aux points de H dont Tab- 9 9 9 9 -^'

scisse est de la forme ,{- (/> et ji étant entiers, et la fraction étant

irréductible), posons f^ -j^; enfin, en tous les autres points de

l'ensemble H, donnons à y la valeur o. On reconnaît que chacun des points où y>* o est un point de discontinuité, et que dans tout intervalle contenant des points A de H, on peut trouver des points où w(y, A) soit inférieure à un nombre £ donné à l'avance. La fonction est donc ponctuellement discontinue.

Troisième cas. — La condition précédente n'est pas remplie. C'est donc qu'il existe un certain intervalle a^ comprenant des points de H et un nombre positif 1, tels cpi'en tout point de H contenu dans a^, l'oscillation de H surpasse X. Nous dirons que, dans ce cas, la fonction est totalement discontinue.