LES FONCTIONS DINE VARIABLE

54. Généralisons les notions relatives aux ensembles. H étant un ensemble parfait, et K étant un ensemble contenu dans H, deux cas sont possibles :

i" Dans tout intervalle contenant intérieurement des points de H, il existe un intervalle de même nature ne contenant aucun point de K. On dit alors que K est non dense dans H;

2° Il y a un intervalle a contenant intérieurement des points de H et tel que tout intervalle de même nature contenu dans A contient des points de K. Alors K est partout dense dans la portion de H contenue dans l'intervalle A.

Par exemple, l'ensemble des points de H où l'oscillation relative à H dune fonction ponctuellement discontinue sur H est supérieure ou égale à 3->> o, est non dense sur H. Réciproquement, si cette condition a lieu quel que soit 7 > o, la fonction est ponctuellement discontinue.

Xous sommes conduits à considérer l'ensemble G des points de discontinuité dune telle fonction. Soit une suite 3-,, To, . . .. 7„, . .., tendant vers o. Si G,, est l'ensemble des points de H où Ton a iù^rs„y l'ensemble G est la réunion de tous les ensembles G„.

Un ensemble contenu dans H est dit de première catégorie par rapport à H, s'il est formé par la réunion dune infinité dénombrable d'ensembles non denses dans H.

Je dis que si K est un ensemble de première catégorie par rapport à l'ensemble parfait H, il y a, dans tout intervalle contenant à son intérieur des points de H, des points de H qui n'appartiennent pas à K.

En effet, soit a^ un intervalle contenant des points de H à sou intérieur. Par hypothèse, K est constitué par la réunion dune infinité dénombrable d'ensembles K|, Ko .... K„. — , dont chacun est non dense dans H. On peut trouver dans a^S une portion ai ^, contenant à son intérieur au moins un point de H, mais aucun point de K|, dans a, ,3|, une portion a2^2 contenant à son intérieur au moins un point de H. mais aucun point de Ko, et ainsi de suite. On détermine une suite d'intervalles ai ^3,, ..., 's.n'pni •••1 tels que a^^n est contenu dans a„i,3rt|, contient des points de H, mais aucun de K„. Il existe un point de H intérieur à tous

ces intervalles. Ce point n'appartient à aucun ensemble K„. Il ne fait donc pas partie de K.

Citons l'exemple suivant d'un ensemble non dense par rapport à un autre. Partons de l'ensemble parfait H, constitué par les

points d'abscisses de la forme V ^, où les nombres a sont égaux

à o ou à 2. Dans chaque intervalle contigu à H, plaçons un ensemble qui soit situé par rapport à cet intervalle comme H l'est par rapport au segment (o, i). Soit H, l'ensemble total, qui est parfait. Je dis que H est non dense dans H,. En effet, considérons lin intervalle contenant à son intérieur des points de H,. Cet intervalle contient des points de H| qui n'appartiennent pas à H, puisqu'il contient des intervalles contigus à H. Or, les points de H, n'appartenant pas à H, qui est parfait, ne sont pas limites pour H, Je puis donc entourer un de ces points par un intervalle ne contenant pas de points de H. H est donc non dense dans H,.

55. Nous allons généraliser le théorème dans lequel nous avons énoncé un caractère nécessaire des fonctions limites de fonctions continues.

*S'/, sur un ensemble parfait H, se trouvent définies une suite de fonctions continues f^^ f 2.^ ...,f,i, ..., tendant vers une fonction /, je dis que f est ponctuellement discontinue sur II.

En effet, tout revient à démontrer l'impossibilité de l'hypothèse d'après laquelle y serait totalement discontinue sur II. Dans cette hypothèse, il y aurait un certain intervalle CD {fig- 28) contenant

Fig. 28.

P C, Cj D2 Dt q

C c A, Ao D' D

à son intéineur des points de H, et un nombre positif 2 A tel que, en tout point A de H contenu dans CD, on aurait

co(/, n, A)>'2X.

On aurait par suite aussi, pour toute portion CD' de CD contenant