LES FONCTIONS DUNE VARIABLE

à son intérieur des points de H,

coC/, H, G'D')>2X.

Prenons un nombre positif ;j. inférieur à ). et posons

À = :x-4- îE.

Prenons un intervalle arbitraire CD' contenant à son intérieur des points de H. Soit Ao un de ces points. La suite /, (Aq), /2(Ao), ..., /rt(Ao), ... a pour limite /(Aq). On peut donc trouver un nombre a tel que

(') l/a<;Ao)-/(Ao)|<E.

La fonction/j^est continue par hypothèse sur l'ensemble parfait H. On peut donc, puisque Ao est intérieur à CD', déterminer un intervalle G|D, contenant Aq à son intérieur et contenu dans CD', et tel que, en tout point A de H contenu dans G, D,, on ait

<'^) |/a(A)-/a(Ao)I<E.

Remplaçons G, D, par un intervalle G', D', intérieur à lui, et contenant Aq intérieurement. Les valeurs de / aux points de H contenus dans G', D', forment un ensemble dont l'oscillation est supérieure à 2).. On peut alors, d'après le lemme du n°oO, affirmer l'existence d'un point A, de H contenu dans G', D, . tel que l'on a

(3) |/^Ai;-/(Ao)|>À.

Gomme/, (A,), /.(A,), ...,/„(A,), ... ont pour limitc/(A), je puis déterminer un entier |j tel que Ton ait

Puis, en vertu de la continuité de fa, en A, qui, étant contenu dans G', D', , est intérieur k G( D,, je détermine un intervalle Go Do contenant A, intérieurement, contenu dans G,D,, et tel que pour tout point A de H contenu dans Go Do, l'on a

I On lire de ces inégalités les mêmes conséquences qu'au théorème du n°oJ , à savoir que. pour tout point A de H contenu dans Go Do,

on a

co[/,(A), /.(A), ..., 4(A), ...]>:.L.

go • CHAPITRE IV.

D'ailleurs, au lieu de commencer la suite y',, /o, ...,/,i, ... à la fonction y"), on peut la commencer à la fonction yy,j.| . Ue sorte que, quel que so'ilp, dans toute portion CD' de CD qui contient à son intérieur des points de H, existe une portion Go Do contenant à son intérieur des points de H, et telle que tout point de H contenu dans cette portion satisfait à l'inégalité

(6) to[/,,+,(A),/,,+,(A). ...|>;x.

P2n d'autres termes, l'ensemble G« des points de H de l'intervall(? CD qui ne satisfont pas à (6) est non dense par rapport à H dans l'intervalle CD. Donnons k p toutes les valeurs entières, i, 2, ..., V, .... Soit G l'ensemble formé par la réunion de tous les ensembles Gy. G est de première catégorie par rapport à H. Il y a donc des points de H qui ne font pas partie de G. Soit A un tel point. A satisfait à l'inégalité (6) quel que soity?, ce qui est contradictoire avec le fait quey„(A) a une limite finie.

En résumé, si f est limite de fonctions continues^ f est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait.

Citons l'exemple suivant d'une fonction y qui n'est certainement pas limite de fonctions continues. Soit H un ensemble parfait non dense. On donne à / la valeur o en tous les points, sauf aux extrémités des intervalles contigus à H, où on lui donne la valeur i. f est ponctuellement discontinue sur le continu. Mais elle est totalement discontinue sur H. Car, en cliaque point de H l'oscillation est égale à i. La fonction n'est donc pas limite de fonctions continues.