IV. — Recherche de conditions suffisantes

56. Nous sommes conduits à nous demander si les conditions trouvées pour qu'une fonction soit limite de fonctions continues sont suffisantes. La question sera étudiée dans toute sa généralité au Chapitre suivant. Dans le présent Chapitre, nous nous contenterons d'étudier le cas particulier d'une fonction f définie sur un segment qui sera, par exemple, le segment (o, i ), et qui sera partout égale soit à o, soit à i .

LES FONCTIONS d'oE VARIABLE. 9I

Remarquons que, H étant un ensemble parfait quelconque, comme f ne peut avoir que les valeurs o ou i, les nombres M, /w, ti> relatifs k f eX. à H ne peuvent en un point avoir d'autres valeurs que o ou i. En particulier, to étant égal à i en tous les points de discontinuité, lensemble de ces points est nécessairement fermé. Pour que f soit limite de fonctions continues, il est nécessaire que y soit ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait.

Désignons par Po le continu, et par P, l'ensemble des points de discontinuité de / par rapport à P©, ensemble essentiellement fermé. Lensemble P,. en chaque point duquel l'oscillation est égale à i, doit être non dense dans Po- Dans chaque intervalle contigu à P,, la fonction est continue, elle a donc partout la valeur o ou partout la valeur i, sauf peut-être aux extrémités de l'intervalle. L'ensemble fermé Vx peut avoir des dérivés de tous les ordres correspondant aux nombres des classes I et IL II possède en ce cas un dérivé Py', qui est parjait. Sur P, , f doit être ponctuellement discontinue, c'est-à-dire que, si l'on désigne par Po l'ensemble des points de discontinuité de f par rapport à P^, Po, qui est fermé, doit être non dense dans P7. Po peut avoir un dérivé P?. S'il en est ainsi, nous considérerons l'ensemble P3 des points de discontinuité de / par rapport à P^ , et ainsi de suite. Avant défini P„, si P^ existe, je désigne par P„^, lensemble des points de discontinuité de / par rapport à P^. Il est possible que cette opération puisse se prolonger indéfiniment. On aura alors une suite d'ensembles Pq, P), — . Pw- •■•■> tous fermés, chacun étant contenu dans le précédent. On sait que, dans ces conditions, il existe des points communs à tous ces ensembles. Nous désignons l'ensemble des points communs à tous les ensembles P„ par P^. Nous savons que P^ est fermé. Il peut posséder un dérivé d'ordre û. Nous désignons l'ensemble des points de discontinuité de y sur P^ par Pw+,.

Définissons d'une façon générale ce que nous désignons par P^, a étant un nombre quelconque des classes I ou IL Supposons que la définition de P^ soit donnée pour tous les nombres a' qui précèdent un nombre donné a.

Si a est de première espèce, il a un précédent, a — 1 . Par définition, Pa est l'ensemble des points de discontinuité de / par rapport à P^-f

g-î CHAPITRE IV.

Si a esL de seconde espèce, Pa est, par définilion, l'ensemble des points communs à tous les ensembles IV pour lesquels on a

Si, dans les nombres a' inférieurs à a, on prend une suite fondamentale a,, ao, ..., a-v, ..., ayant pour limite a, on peut dire que P^ est l'ensemble des points communs aux ensembles P^^, Pa.^ • • • •>

iv,....

57. Il j a lieu d'étudier Jes ensembles ainsi définis. Nous allons voir se poursuivre les analogies que l'on a pu remarquer entre ces ensembles et les dérivés successifs d'un ensemble donné. Nous allons démontrer le théorème général suivant :

Si l'on a sur un segment de droite des ensembles fermés, correspondant aux nombres des classes I ou II, avec la condition que l' inégalité a << a' entraîne Pa^Pa'? H existe un certain nombre ^, à partir duquel les ensembles considérés sont tous identiques, c' est-à-dire que V on a

Deux cas seulement sont possibles. Dans un premier cas, certains des ensembles P^ sont nuls. Considérons le plus petit nombre pour lequel cela a lieu, soit {3. Pp est nul. Donc, tous les ensembles suivants sont nuls. Donc, dans ce cas,

Dans le second cas, quel que soit a, il existe sur le segment considéré des points de Pa- On peut démontrer alors qu'il existe au moins vin point faisant partie de tous les P^. Pour cela, on divise le segment donné en deux parties égales. Comme tous les ensembles P^ possèdent cfïectivement des points dans l'intervalle total, on en déduit qu'ils possèdent tous des points dans l'un au moins des intervalles partiels. On recommence l'opération sur cet intervalle et l'on continue indéfiniment. On obtient une suite d'intervalles tendant vers un point limite. Ce point est tel qu'il existe dans son voisinage des points de P^, quelque soit a. Comme chaque P^ est fermé, le point appartient à chaque P». Désignons par Pq l'ensemble des points qui font partie de tous les Pa. Pq est

LES FONCTIONS DINE VARIABLE. ' gS

fermé, comme ensemble commun à certains ensembles fermés.

Dans tout intervalle qui ne contient pas de point de Pq, il existe un nombre x tel que P^ n"a pas de points dans cet intervalle, sans quoi l'intervalle contiendrait des points de tous les P-x. et par suite dePû.

Considérons maintenant un intervalle CD dont aucun point intérieur ne fait partie de Pq ; divisons CD en deux intervalles par un point K{Jîg. 2 1 , p. 65), puis divisons CE en une infinité dénombrable d'intervalles juxtaposés tendant vers C. Il est possible de faire correspondre à chacun de ces intervalles un nombre a,-, tel que P-j. soit nul dans cet intervalle. Considérons l'ensemble des nombres a/. On peut trouver un nombre a' plus grand que tous ceux-là. Pa' sera nul à l'intérieur de CE. Il existe de même un ensemble P»- nul à l'intérieur de ED. Soit a le plus grand des deux nombres 7/ et a". L'ensemble P^ f ^l «"1 î» l'intérieur de CD.

L'ensemble Pq étant fermé, il y a une infinité d'intervalles conligus à Po. Pour chacun de ces intervalles existe, d'après ce qui précède, un nombre a/ tel que P^. est nul à l'intérieur de cet inter- \alle. Considérons l'ensemble des nombres a,. On peut trouver un nombre x supérieur à tous ces nombres. P^ est nul à l'intérieur de tous les intervalles contigus. Il ne contient donc pas d'autres points que ceux de Pq. Comme il contient tous les points de Pq, il coïncide avec Po.

D'ailleurs tous les ensembles qui suivent P^ coïncident avec P^ et Pq. Car ils sont contenus dans P^ et contiennent Pq. On a donc

Le théorème se trouve ainsi démontré.

• Remarquons que. parmi les nombres a tels que P^= Pq, il y en a un plus petit que tous les autres. Soit ^S ce nombre. On a

avec

Pv>P?, si

Si nous ajoutons aux conditions de l'énoncé, celle-ci, qu'un point isolé d'un ensemble ne peut pas faire partie du suivant, Pq, s'il existe, est parfait. Car. si Pû=P^ contenait un point

isolé A, A ne ferait pas partie de Pp+, = Pq, ce qui est contradictoire. Donc Pq est dense en lui-même. Comme il est fermé, il est parfait.

En résumé, dans les deux seuls cas possibles, les ensembles Pa sont identiques entre eux à partir cVune certaine valeur [j des classes I ou II, et V ensemble Pp est nul ou parfait.

58. Reprenons le cas des ensembles particuliers Pa définis au n" 56. Ces ensembles sont fermés et chacun est contenu dans le précédent. Soit ^ le plus.petit nombre tel que Ion ait

P|5 = Pp+i = . . . = Pq.

Un point isolé de Pa ne fait pas partie de P^" ni, a fortiori, de Pa+i- L'ensemble Pp est donc parfait ou nul. Je dis que, dans V hypothèse où f est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, P^ est nul. En effet, si Pp existait effectivement, comme Pp+i = Pp, tout point de Pp+i serait point de discontinuité relativement à Pj^, f serait totalement discontinue sur cet ensemble.

Soit A un point du continu Po. Puisque Pq=o. A n'appartient pas à tous les ensembles Pa- Donc certains d'entre eux ne contiennent pas A. Parmi ceux-ci, l'un d'eux a un indice plus petit cjue tous les autres. Soit o cet indice; o est au moins égal à i. 0 ne peut pas être de seconde espèce, car, dans cette hypothèse, Pg serait l'ensemble des points communs à tous les ensembles Pa, pour a-<o; or, tous ces ensembles contiennent A; donc Pg contiendrait aussi A. Donc o n'est pas de seconde espèce. Donc 0 a un précédent v. Il existe ainsi un nombre v (pouvant être égal à o) tel que Py contient A, Py+i ne le contenant pas. Donc A fait partie de Py — Py+i- D'ailleurs, le nombre y est évidemment bien déterminé pour chaque point A. Par conséquent, nous pouvons écrire

Po-X(Py-Py4-,), avec o;^Y<.3.

Considérons maintenant un ensemble de la forme Py — Py+17 on Y est inférieur à ^. P^+\ fait partie de Py . On peut écrire

Py-Py+l=(Py-P^^) + (P^-Py+.)-

LES FONCTIONS d'cNB VARIABLE. qS

Nous pouvons décomposer le premier terme Py — P^. Py étant fermé, désignons-le par P^. Nous savons que l'on a (n° 42)

V prenant toutes les valeurs inférieures à un certain nombre, ou même, si 1 on veut, toutes les valeurs <; Q. Nous avons donc

Py - Py, = 1 ( P;^ - P^-' ) ^ ( P? - Pv+,).

En résumé, si l'on considère un point A de Pq. on reconnaît qu'il existe, ou bien un système de nombres " et v des classes 1 ou II, tels que A fait partie de Pv — Pv^', ou bien un nombre -'. tel que A fait partie de Py — Py^, .

59. Ces notions étant acquises, nous pouvons démontrer le théorème suivant :

Si une fonction f égale à o ou à i définie sur un segment de droite est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, elle est limite de fonctions continues sur ce segment.

Nous avons jusquici ramené le problème de la construction de fonctions continues ayant pour limite une fonction donnée à la construction d une fonction F {^x, y) définie dans un certain rectangle et sous certaines conditions. Nous allons donner un nouveau procédé pour construire une suite de fonctions continues^", ,

f, fn tendant vers une fonction discontinuey. Supposons

ydéfinie sur le segment (o, i). Lafonction /"i sera telle qu'elle variera

linéairement dans chacun des intervalles (o, -j> (-> ^)-fi variera linéairement dans chacun des intervalles o, -: -^ -; -» -; -j i.

D une façon générale, fa variera linéairement dans chacun des

intervalles — > ~ -, pour a = o. i, 2 2" — i. La fonction /"«

'^ ^era parfaitement définie si Ion connaît sa valeur en chaque point

d'abscisse ^' Elle sera représentée géométriquement par une

ligne brisée de 2" côtés {fig- 29)-

Définissons les fonctions /« dans le cas qui nous occupe.

gfi CHAPITRE IV.

Tout revicnl à définir /«(H), H élant le point d'abscisse ■^• Pour cela, je considère l'intervalle ). de milieu H et de lon-

Fii;. 29.

gueur -^^- Considérons les ensembles Py et VZ relatifs à /. Désignons par Qy V l'ensemble qui est la partie de Py contenue dans À, ce que nous exprimons par l'égalité Qy^v= D(Py, }v). Les ensembles ()y^v sont fermés, ordonnés entre eux comme les ensembles i^^ correspondants, en ce sens qu'on a

Qy,v^ Qy'.V si 7 > y',

Qy,v= Qy,v' si v > v'.

Cela posé, considérons tout d'aboi'd les ensembles Qy,o? où y prend toutes les valeurs possibles des classes I ou II. Considérons ceux de ces ensembles qui contiennent etïectivement des points. Je dis que, parmi ces ensembles, l'un a un indice supérieur à tous les autres. En efî'et, à partir d'un certain rang, tous les ensembles Py sont nuls. Il est donc certain qu'à partir de ce rang tous les ensembles Qy^o sont nuls. Parmi tous les ensembles Qy^o qui sont nuls, l'un a un premier indice plus petit que tous les autres. Soit ù cet indice. 0 ne peut pas être de seconde espèce, car, alors, Q8,o serait l'ensemble des points de À communs à tous les ensembles P^, pour lesquels y < 0; or, par hypothèse, aucun de ces ensembles n'est nul dans X, et l'on sait qu'en pareil cas, \ contient des points communs à tous les ensembles P^; donc Qg^o ne sérail pas nul. Donc, 0 est de première espèce et a un précédent que je désigne par h. Il y a donc un nombre h caractérisé par ce fait cjiie Q/^^o existe et que Qa4.),o est nul.

Considérons maintenant les ensembles Q/^^v, où v peut prendre les valeurs des classes I et H et, en outre, la valeur ù. Il peut arriver que Q/,,Q existe. S'il n'en est pas ainsi, un raisonnement ana-

FONCTIONS d'une VARIABLE. 97

logue à celui qui vient d'être fait montre qu'il existe un nombre A" plus grand que tous les autres, tel que Qa.a existe.

Ainsi nous démontrons l'existence de deux nombres, h et A, tels que si k est différent de û, Qa.a existe, tandis que Qa.a+i n'existe pas, et tels que, si Ton a A" = û, Qa.û existe et Qa^.,^© n'existe pas.

Ceci étant établi, nous prendrons y„ (H) égalait minimum dej^ aux points de Qa,a- Vérifions que la suite des fonctions /"i,

f^, y„, ..., ainsi définie, tend vers y. c'est-à-dire, montrons

que, quel que soit le point A du segment (o, i), /„{A.) a pour limite ^(A). Nous distinguons deux cas. suivant que A fait partie d'un ensemble PZ — Pv^', ou d'un ensemble P^ — ^yj-i-

Premier cas. — A fait partie d'un ensemble Pv — Pv"^'. Cela veut dire que A est un point isolé de l'ensemble Py. Autrement dit, on peut déterminer un intervalle jo. auquel A est intérieur et ne contenant aucun point de Pv autre que A. Dès que n est assez

grand, les points H d'abscisses ^ entre lesquels se trouve compris A sont assez rapprochés de A pour que les intervalles a correspondant à ces points soient entièrement intérieurs à ul. Quand ces conditions sont remplies, d'après la définition de Qa.*, je dis qu'on a h^" et A=v. En effet, tous les ensembles qui suivent P^ n'ont aucun point dans un intervalle A contenant A, puisque Py n y possède que le point A. Ce point A constitue d'ailleurs 1 ensemble Qy.v Donc, à partir d'une certaine valeur de n, on a, pour les deux points H comprenant A,

Donc, comme fn a en A une valeur comprise entre ses valeurs pour ces deux points H

et

lim/„(A) =/{A).

Deuxième cas. — Le point A fait partie d'un ensemble

P- — Pv4.|. P~ est un ensemble parfait, et Py+j est l'ensemble de

ses points de discontinuité. Donc y" est continue en A par rapport

à Pv . D'ailleurs, comme/" est égale à o ou à i, la continuité en A

gS CHAPITRE IV. — LES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

entraîne la consLance au voisinage. On peut donc déterminer un intervalle a contenant A à son intérieur, et tel que, en tout point de P? intérieur à tji,/est égale à/(A). Quand n est assez grand, on

reconnaît comme précédemment qu'aux points H d'abscisses ;^

entre lesquels se trouve compris A correspondent des intervalles k qui sont tout entiers contenus dans ji.. Dans ces conditions, d'après la définition de Qh,h-, on doit prendre h = Y, k = ù; en effet, dans un de ces intervalles, Py possède des points sans que Py^, en possède. On doit donc prendre

/„(H)=:m(/,Qy,Q)-/(A),

en chacun des points H comprenant A. Donc, à partir d'une certaine valeur de /i, on a encore

Donc, la suite y, , /"o, ...,//,, ... a pour limite/'.

Il est ainsi démontré que, pour le cas particulier des fonctions égales à o ou I , la condition nécessaire et sujfisanle pour qii' une telle jonction soit limite de fonctions continues est quelle soit ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait.

LES FONCTIONS DE n VARIABLES.