Ensembles de points dans l'espace à n dimensions

60. Nous allons maintenant reprendre à un point de vue tout à fait général les questions étudiées dans les précédents chapitres, en nous plaçant dans le cas des fonctions de plusieurs variables.

Quand on considère une fonction de n variables. Xi. x-^. .... Xrt, on peut dire que rargument de la fonction est un point de l'espace à n dimensions. Il y a donc lieu tout d'abord d'étendre aux ensembles de points à n dimensions les définitions et les théorèmes qui nous ont servi dans le cas des ensembles linéaires.

Désignons par G» l'espace à n dimensions. Ce sera, par définition, l'ensemble des points Xi, x.> x„, chaque variable Xi

pouvant prendre toutes les valeui's réelles finies.

Ln point A est dit point limite pour un ensemble de points P, si toute sphère de centre A contient au moins un point de P différent de A. autrement dit, contient une infinité de points de P. Etant donné un ensemble P. soit P' l'ensemble des points limites de P. P' est appelé l'ensemble dérivé de P. Un ensemble est dit fermé s'il contient tous ses points limites. Un ensemble dérivé est fermé. On dit qu'un ensemble est dense en lui-même si chacun de ses points est un point limite pour cet ensemble. On dit qu'un ensemble est par/ait s'il coïncide avec son dérivé, c'està-dire, s'il est fermé et dense en lui-même.

Par exemple, dans l'espace Go, on constate que l ensemble des points situés à l'intérieur et sur le contour d'un cercle est un ensemble parfait. L'ensemble des points intérieurs au même cercle n'est pas parfait, parce qu'il n'est pas fermé. Mais il est dense en lui-même.

lOO CHAPITRE V.

L'ensemble des points d'un segment de droite situé dans l'espace Go est parfait.

Citons, toujours dans l'espace Go, l'exemple suivant d'ensemble parfait. Considérons sur Ox un ensemble parfait non dense H^ svir Oy un ensemble parfait non dense K. Par les points de H, menons des parallèles à Oy, par les points de K, menons des parallèles k Ox. L'ensemble des points de rencontre des droites ainsi menées est un ensemble parfait.

Un autre exemple d'ensemble parfait dans l'espace Go est celui des segments parallèles* à Oy de longueur i , et ayant leurs origines sur O^ aux points de H.

Comme dans le cas des ensembles linéaires (n" 14), on reconnaît que Venseînble commun à des ensembles fermés {en nombre fini ou infini), s^ il existe, est fermé.

Un ensemble à n dimensions, borné et contenant une infinité de points, a au moins un point limite, l^a démonstration se fait comme pour le théorème analogue relatif aux ensembles linéaires (n** 10). La subdivision en segments est remplacée par une subdivision en parallélépipèdes tendant vers un point qui est point limite de l'ensemble.

Si Von a des ensembles fermés P,, Po, . . ., Pv: • • ••, ^cls que : Pi^P,i...lPv>...

et si P) est borné, il y a au moins un point commun à ces ensembles.

Cette proposition se démontre également en suivant la méthode employée pour la proposition analogue relative aux ensembles linéaires (n" 13), mais remplaçant la subdivision en segments par une svibdivision en parallélépipèdes.

Si l'on ne suppose pas les ensembles bornés, la conclusion ne subsiste pas. Par exemple, si Pv est l'ensemble linéaire des points dont l'abscisse est un des nombres v, v + i , v + 2, . . ., on a

Pv est fermé (il n'a pas de points limites), et cependant il n'y a pas de point commun à tous ces ensembles.

LES FONCTIONS DE n VARIABLES. lOI

61. Xous allons étendre au cas de l'espace à n dimensions le théorème du n° 37 et, pour cela, nous étudierons tout d'abord un nouveau procédé pour définir un ensemble fermé donné.

Soit B un point dont les n coordonnées sont de la forme

Xi= ,

a/ étant un nombre entier. Considérons le cube A de côtés parallèles aux axes, ayant pour centre B et pour côté — —• Les points intérieurs à ce domaine sont ceux pour lesquels on a

2;— [ . ^ ■Xi— I

Les points du domaine sont ceux pour lesquels on a

Étant donné un point quelconque A et un nombre p, on peut trouver un cube de l'espèce précédente auquel A soit intérieur. (On peut même en général en trouver plusieurs.)

Faisons varier l'entier p en lui donnant toutes les valeurs entières positives. Désignons par (A) l'ensemble de tous les domaines ainsi obtenus. Les paramètres de l'élément le plus général de l'ensemble (A) sont les entiers /?. a,, a^ a„. On en déduit que

l'ensemble (A) se compose d'une infinité dénombrable de domaines.

Indiquons une propriété de ces domaines qui est fondamentale pour la suite. Soient A un point quelconque, S une sphère de centre A. On peut trouver un domaine A auquel A est intérieur et qui est tout entier contenu dans 2]. Car, quel que soit />, on peut trouver des domaines A contenant A intérieurement et, quand p croît indéfiniment, la plus grande dimension de ces domaines tend vei's o.

Soit, dans l'espace G,,, un ensemble ye^/?^e P, absolument quelconque. Considérons les domaines A. Nous dirons qu'un domaine A est extérieur à P s'il ne contient aucun point de P. Nous distinguons ainsi les domaines A en domaines extérieurs à P, et domaines contenant au moins un point de P. •

Je dis que la connaissance des domaines extérieurs à P est complètement éqim'aleiite à celle de P. D'abord, si P a été défini, on sait par cela même quels sont les domaines A extérieurs à P. Il nous suffît de montrer la réciproque. Je vais montrer que, si l'on connaît tous les domaines extérieurs à P, étant donné un point A quelconque, on peut dire si, oui ou non, il appartient à P. En effet, en vertu d'une remarque faite plus haut, nous pouvons trouver une suite de domaines A, soit A,, Aj, ..., A^,, ..., auxquels A est intérieur, dont le côté tend vers o et dont chacun est contenu dans le précédent. Deux cas seulement sont possibles :

1° Chacun des domaines A,, Aj, . . ., A^,, . . . contient au moins un point de P. Dans ces conditions, il y a, dans toute sphère de centre A, au moins un point de P; P étant fermé, A fait partie de P.

2" Certains de ces domaines ne contiennent pas de points de P. Remarquons que, si la condition est remplie pour un domaine, elle est remplie pour les suivants. On peut dire que A est intérieur à un domaine fini ne contenant aucun point de P. Donc A ne fait pas partie de P.

Remarquons que ce procédé démontre que la définition d'un ensemble fermé peut se faire par une infinité dénombrable de conditions.

Désignons par G„ — P l'ensemble des points de l'espace G„ qui n'appartiennent pas à P. G,, — P peut être considéré comme constitué par la. réunion de tous les domaines (A) extérieurs à P. Car chaque point appartenant à un de ces domaines fait certainement partie de G« — P et, étant donné un point A qui ne fait pas partie de P, il existe des domaines (A) extérieurs à P et contenant ce point.

Si l'on a deux ensembles fermés P et Q, P contenant Q, il est évident que tout domaine extérieur à P est, a fortiori, extérieur à Q. De plus, si nous supposons que l'on a P >> Q (égalité exclue), il y a certainement des domaines qui sont extérieurs à Q sans être extérieurs à P. Car, sans cela, il y aurait identité entre les domaines extérieurs à P et Q et, par suite, identité entre P et Q.