Considérons maintenant des ensembles fermés correspon

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dant aux nombres des classes I et II,

Poi Pt» Pîi - • -» Pa? • • •»

avec la condition que rinégalité a << 3c' entraîne P^l^ P^ . Dune façon générale, désignons par A£(Pa) l'ensemble des domaines A extérieurs à P^. Remarquons que Ae(P2^,) contient tous les éléments de A£(Pjx). De plus, la condition nécessaire et suffisante pour que AE(Pa+i) soit identique à A£(Pgt) est

Je désigne par G(Pa) l'ensemble des domaines qui appartiennent à A£(P3t^i) sans appartenir à AgfPx). Cela posé, considérons la

suite

C(Po), C(P,), ..., C(Pa),

Chacune de ces expressions désigne l'ensemble de certains domaines A. Deux quelconques de ces ensembles n'ont aucun élément commun, car un élément de C(P3t) fait partie de A£(P3t4.i), par suite de A£(P3t).2)7 et généralement de Ap^'Pa». quelque soit a' supérieur à a; donc il ne fait pas partie de C(Pa-f-i), ni d'aucun des ensembles qui suivent C(Pa). Donc deux ensembles C(Pa) différents n'ont aucun élément commun.

Les différents ensembles C(Pa) sont des parties de l'ensemble (A), qui contient une infinité dénombrable d'éléments, et ils n'ont, deux à deux, aucun élément commun. Donc ceux des ensembles C(Pa) qui ne sont pas nuls forment au plus une infinité dénombrable. D'après la définition des nombres des classes I et II, il y a certainement un nombre 3 supérieur à tous les nombres a pour lesquels C( Pa) n'est pas nul. C^^P^ ) et tous les ensembles suivants sont donc nuls. Or, si l'on a

on a vu que l'on en conclut

Désignons par Pq l'ensemble commun à tous les P^. La proposition obtenue peut s'exprimer ainsi : '

Il y a certains nombres a des classes I et 11 tels que Von a

Pa=Pû.

I04 ClIAPITRK V.

63. Nous compléterons ce résultat par les remarques suivantes :

Remarque 1. — Supposons que les ensembles donnés Po, Pi, ... satisfassent à la condition suivante : pour tout nombre a de seconde espèce, P^ est l'ensemble commun à tous les ensembles Pa' de ranginférieur à a.

Dans ces conditions, considérons un point qvielconque A de P„. Deux cas sont possibles : ou bien A. appartient à tous les ensembles Pa et, par suite, -à Pq; ou bien cette condition n'est pas remplie. Alors certains des ensembles P^ ne contiennent pas A. L'un d'eux a un indice plus petit que tous les autres. Soit 3 cet indice. Je dis que 8 n'est pas de seconde espèce, car A appartient à tous les ensembles pour lesquels on a a -< o. Donc, si S était de seconde espèce, A appartiendrait à Pg. Donc o est de première espèce et a un précédent y. A appartient à Py — Py+i- On a donc l'égalité

Y prenant toutes les valeurs des nombres des classes I et II (ou encore les valeurs -< f^, si ^ est le plus petit nombre tel que Pp= Pq).

Remarque II. — Si, outre la condition précédente, on a

et si Po est borné, le plus petit nombre o tel qvie l'on ait

Pg = Pq = o

ne peut pas être de seconde espèce.

Car alors 0 serait limite d'une suite o,, o^, ..., o„i ■■■ avec o„<; 8. Or les ensembles Pg^, Pg , . . ., Pg , . . . qui sont fermés et bornés et dont aucun n'est nul, ont des points communs. Donc Pg ne serait pas nul. Donc o est de première espèce. Il a un précédent y. En résumé, il existe un nombre ^^ tel que Py contient des points, Py^, étant nul.

Remarque 111. — Supposons que les ensembles donnés satis-

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fassent à la condition qu'un point isolé d\in ensemble ne fait pas partie du suivant. Dans ces conditions, je dis que, si Pq n'est pas nul, il est parfait. En effet, nous savons déjà que Pq est fermé, puisqu'il est identique à P^ à partir d'un certain rang. Il suffit de montrer que Pq ne contient pas de point isolé. Soit A un point qui serait isolé dans Pq : A est isolé dans Pp, donc il ne peut pas faire partie de P^i, donc il n'appartient pas à Pq. Donc Pq est parfait.

64-. Les considérations précédentes s'appliquent aux ensembles dérivés d'un ensemble donné P. On définit les ensembles dérivés P» comme on Ta fait pour les ensembles linéaires. Ces ensembles, à partir de P', satisfont aux conditions de l'énoncé du théorème général du n" 62 et aussi aux conditions complémentaires des remarques I et III. Donc les ensembles dérivés sont tous identiques entre eux à partir d'un certain rang. De plus, l'ensemble dérivé d'ordre û, s'il existe, est parfait. En supposant P fermé, et posant P" =: P, on a

(Pv pr.-1,

D'après la remarque II, on voit que si, dans un domaine borné, P^ est nul, il y a un nombre y tel que Pt existe dans ce domaine, tandis que Pt+' est nul. Le nombre y est tel que Pï possède un nombre fini de points dans le domaine considéré.

6o. Nous allons donner maintenant quelques définitions relatives aux ensembles parfaits et qui s'appliqueront en particulier au continu.

Soit P un ensemble parfait dans l'espace à n dimensions G«. Soient A un point de P et Z une sphère à laquelle A est intérieur. Nous savons qu il v a dans - une infinité de points de P. Nous dirons que l'ensemble des points de P contenus dans - est la portion de P déterminée par S.

Nous dirons que Q, ensemble contenu dans P, est non dense dans P si, dans toute portion de P, il existe une autre portion de P ne contenant aucun point de Q. Si cette condition n'est pas remplie, il existe une portion II de P telle que toute portion

lo6 CIIAPITRK V.

de n contient des points de Q, et, par suite, telle que Q' contient tous les points de II ; dans ce cas, Q est partout dense dans H.

Étant donné un ensemble Q, on dit que Q est de première catégorie dans P si Q est formé par la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles non denses dans P. Un ensemble qui n'est pas de première catégorie sera dit de seconde catégorie.

Je dis que, sii) est de première catégorie dans P, // existe des points de P n'appartenant pas à Q. Soient Q,, Qo, . . ., Q«, • . . les ensembles non denses dans P dont Q est la réunion. Soit S une sphère contenant à son- intérieur des points de P. On peut déterminer dans S une sphère S, contenant des points de P à son intérieur et ne contenant aucun point de Q, ; dans S,, une sphère S2 contenant intérieurement des points de P et ne contenant aucun point de Qo. En poursuivant le raisonnement indéfiniment et s'astreignant de plus à ce que les rayons des sphères tendent vers o, on obtient un point limite B contenu dans toutes les sphères S,^ ; B est limite pour P; donc il fait partie de P. De plus, B n'appartient à aucun des ensembles i),,. Donc B n'appartient pas à Q.