II. — Conditions nécessaires

66. Nous allons étendre au cas de plusieurs variables les définitions données pour les fonctions d'une variable (Chap. IV,, section ï). Nous considérerons tout de suite des fonctions définies sur des ensembles parfaits quelconques. Nos définitions s'appliqueront en particulier au continu.

Soit une fonction /" définie sur l'ensemble parfait P situé dans G«. Considérons une portion H de P. f a, aux diflerents points de O, des valeurs qui forment un ensemble pour lequel existent une limite supérieure, une limite inférieure et une oscillation que nous désignons par M(/, II), m(/, II), w(./'. II).

Prenons un point A de P. Entourons A d'une sphère ayant son centre en A. Soit II la portion de P déterminée par S. Quand le rayon de S décroît et tend vers o, M(/, H) ne va pas en croissant, m (y, II) ne va pas en décroissant, co(/', H) ne va pas en croissant. Donc ces trois quantités ont des limites que nous noterons

M(/, P,A), m(/, P,A), co(/,P, A).

LES FONCTIONS DE n VARIABLES. lOJ

On dira qu'il y a continuité au point A si Ton a

el discontinuité si Ion a

Si n est la portion de P déterminée par une sphère quelconque S contenant A à son intérieur, on a

On dit qu'il y a semi-continuité supérieure de f par rapport à P au point A si l'on a en ce point

Dans ce cas, quel que soit le nombre positif s. on peut trouver une sphère de centre A, et telle que, quel que soit le point A' de P. contenu dans cette sphère, on ail

et réciproquement, si cette condition est vérifiée, on a

et la fonction est semi-continue supérieurement.

On a une définition et des propriétés analogues pour les fonctions semi-continues inférieurement. Etant donnée une fonction f quelconque définie sur l'ensemble P, la fonction '^ définie en chaque point A de P comme étant égale à M(y, P, A), est semi continue supérieurement: et de même la fonction -i ^ ni( f, P, A) est semi-continue inférieurement. Il s'ensuit que to ^ M — m est une fonction semi-continue supérieurement.

Etant donnée une fonction semi-continue supérieurement, l'ensemble des points où elle est supérieure ou égale à un nombre a est fermé. En particulier, si Ton considère une fonction f quelconque, l'ensemble des points où l'oscillation de f est supérieure ou égale à a > o est fermé.

67. Etant donnée une fonction f définie sur un ensemble parfait P, trois cas sont possibles.

1° En tout point de P, on a

La fonction est continue sur P.

1° En certains points on a w>-o. Il y a des discontinuités. Mais on suppose que, quel que soit le nombre positif a-, l'ensemble des points de P où l'on a

cof/, P,A)^a

est non dense sur P. Alors, en se donnant des valeurs o-j , o-^, ..., t,^, ... tendant vers o, on voit que l'ensemble des points de discontinuité est la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles non denses. Donc, cet ensemble est de première catégorie. H y a donc dans toute portion de P des points qui n'appartiennent pas à cet ensemble et où par suite /" est continue.

On dit, dans ce cas, (|ue f est ponctuellement discontinue sur P.

3" La fonction /", discontinue sur P, n'est pas ponctuellement discontinue. Il existe donc d'une part un nombre a positif , d'autre part une portion II de P, telle qu'en chaque point de II, on a (o ^ a. Nous dirons que la fonction y est totalement discontinue sur P.

68. Je dis que si Von a, sur un ensemble parfait P, une suite de fonctions continues f\^ /"o, . . ., f,i^ . . ■ ayant pour limite une fonction f, f est ponctuellement discontinue sur P. (Nous supposons la fonction y bornée.)

Nous employons tovij ours le même mode de raisonnement. Montrons qu'il est impossible d'admettre que f est totalement discontinue sur P, autrement dit qu'il existe une portion H de P et un nombre positif aX, tels que, en tout point de H, Toscillation de/" surpasse aX. Dans cette hypothèse, l'oscillation dans toute portion de H est supérieure à 2)^. Je prends un nombre tx positif inférieur à X. Je pose X = [jl -f- 4 £•

Donnons-nous un entier yj. Partons d'une portion H' quelconque de H. Soit Ao un point de H intérieur à la sphère S qui détermine cette portion. Comme la suite fp^i (Ao), fpj^2{^o)i • • • a pour limite y(iVo), on peut déterminer un entier a supérieur à /*, tel que l'on ait

l/a(Ao)-/(Ao)l<£.

LES FONCTIONS DE n VARIABLES. tog

La fonction y^ étant continue sur H. on peut déterminer une sphère -i de centre Aq, contenue dans -. et telle que 1 on ait, pour tout point A de la portion H| déterminée par S, dans H,

i/a(:At-/a(Ao>,<s.

Remplaçons S, par une sphère concentrique de ravon plus petit Do. Cette sphère -^ contient intérieurement un point de H, savoir Aoi soit Ho la portion de H contenue dans ^o. Dans cette portion, par hypothèse, Foscillation de f surpasse 2 a. Donc, on peut y trouver un point A|, tel que Ton ait

|/(Au-/(Ao)!>X.

Le point A,, contenu dans S2, est certainement inlérieur à S|. On peut trouver, dabord un nombre 3 supérieur à p, tel que l'on ait

puis, en utilisant la continuité de/"p, une sphère D3 de centre A|, contenue dans S, , et telle qu'en désignant par H3 la portion de H déterminée par S3, on ait pour tout point A de H3 :

Ces cinq inégalités sont vraies pour un point A quelconque de H3, puisque H3 est contenu dans H, ; on en déduit que, pour tout point A de H3, on a

i/a(A)-/p(Aj|>.a,

et, par suite,

De là la conclusion suivante :/> étant un entier positif, toute portion H' de H contient une portion H3 dont tous les points satisfont à la condition (1). L'ensemble des points de H qui ne satisfont pas à (i) est donc non dense dans H. Quand p prend toutes les valeurs possibles, la réunion de tous ces ensembles constitue un ensemble de première catégorie. Il existe des points A de H ne faisant pas partie de cet ensemble, et par suite satisfaisant, quel

que soit/?, à l'inégalité (i), ce qui est contradictoire avec le fait que la suite /^ (A) a une limite finie.

Donc, f est ponctuelleinent discontinue sur tout ensemble parfait.