III. — • Conditions suffisantes
G9. Nous allons montrer que cette condition nécessaire est en même temps suffisante-. 11 convient pour cela d'étudier d'abord quelques questions préliminaires.
Soit y une fonction supposée définie sur un ensemble parfait •quelconque P et bornée, c'est-à-dire ayant des limites supérieure et inférieure finies, M et m. Je dis que, si/* est limite de fonctions continues, il est possible de trouver une suite de fonctions continues y, ,^2, ...,/vi ••• définies sur P, tendant vers f et qui soient toutes comprises entre M et m.
Supposons d'abord que l'on connaisse une suite de fonctions continues Oi, cp^, ..., 'Jv^ ... tendant vers /", mais ne satisfaisant pas à la condition complémentaire. Voici comment nous définirons la fonction y,- qui remplacera œ,. En un point où l'on a /«^o^^M, je pose/", = 'j/. En un point où l'on a cs^-^M, je pose /*< = M; en un point où l'on a (Oi'^m, je pose c5/==: 7;^.
On voit d'abord que, si Oi est continue, fi l'est aussi. Car, pour deux points quelconques A et A', on a toujours
i/KA)-/,-(A')|S.lo,(A)-cp,(A')|.
Donc, si A' varie et tend vers A, le second membre tend vers o, par suite aussi le premier.
Vérifions que, quel que soit A,y(A) tend vers /'(A).
En effet, trois cas sont possibles :
i" Au point A, on a /?i ^/(A) < AI. Puisque ^/(A) tend vers /(A), à partir d'une certaine valeur de i, on a /7i<<c5/<; M. • Or, à partir de ce moment, on a posé f = es,-. Donc, dans ce cas, fi tend vers y (A).
2° Supposons /( A) = M. Dans ce cas, à tout nombre positifs,
LES FONCTIONS DE « VARIABLES. iH
correspond un indice V, tel que, si />v. on a M-E<w(A)<M-£.
On a, par suite, à partir du même indice,
Donc, fi tend vers M =/(A\
3° Siy"(A)=//i. la démonstration est analogue. Donc, dans tous les cas, fi tend vers f.
70. Ceci posé, occupons-nous de quelques propriétés des séries uniformément convergentes. Soit une série dont les termes «/,, «2, ..., Un-) •-. sont des fonctions définies en tous les points d'un ensemble parfait P. Supposons cette série convergente en tout point de P. On dit que la série est uniformément convergente sur P si, quel que soit le nombre t positif et quel que soit l'entier h. il existe un nombre n, plus grand que h, tel que la valeur absolue du reste
est inférieure à t. pour tous les points de P ( ' ). Si nous posons
et si /"est la somme de la série, nous dirons que f, tend uniformément vers f On sait que, si les termes u de la série sont des fonctions continues, f esl aussi continue. En efl'et, soit A un point de P, £ un nombre positif donné; il y a un entier n tel que Ton a, pour tous les points de P,
Nous pouvons déterminer, à cause de la continuité de /«, une sphère S de centre A telle que, pour tout point A' de P contenu
dans Z, on a
(■) M. Dini, qui a introduit cette définition, un peu plus ijéncrale que la définition courante, la distingue de cette dernière et l'Appelle condition de convergence uniforme simple.
On a d'ailleurs
IA(A)-/(A)I<s, l/«(A')-/(A')|<s.
D'où l'inégalité
|/(A)-/(A')i<3£, qui exprime la continuité de y au point A.
71. Nous allons montrer maintenant que, si les termes u d'une série uniformément convergente sont limites de fonctions continues, il en est de même de la somme f de la série. Nous ramènerons d'abord le cas général à un cas particulier.
Soit la série uniformément convergente
Posons
Donnons-novis arbitrairement une suite décroissante de nombres positifs formant une série convergente ; soient a, , 7.0, . . ., a,,, . . . ces nombres. D'après nos hypothèses, on peut prendre p^ tel que l'on ait pour tout point de P : 1/ — f\ << ai, puis on peut prendre /;, >/?05 tel que l'on ait |./),,— /| <ao, et, d'une manière générale, />/>/:>/i, tel que l'on ait |/^,^ — f\ < a^-^,. Posons
On a Donc
Or, chaque quantité U représente la somme d'un nomhve/ini de termes consécutifs de la série (i), et est par suite limite de fonctions continues, comme on le reconnaît aisément.
Donc, par un certain groupement de termes consécutifs de la série donnée, on est parvenu à la remplacer par une série Uq, U,, . . ., U/, . . . dont les termes sont, à partir du second, inférieurs en valeur absolue à ceux de la série numérique convergente donnée à V avance :
2 ai, aaa, .... 2 a,-, ....
LES FONCTIONS DE rt VARIABLES. Il3
72. Pour démontrer que la somme / de la série (i) est limite de fonctions continues, nous pouvons donc supposer que les termes de celte série sont respectivement inférieurs à ceux de la série
numérique positive convergente «i, a-i^ .... a/, Xous aurons
ainsi
|«Ai^aA.
Par hypothèse, il existe une suite de fonctions continues wa.o «A. 2- ..., Uh.p- •••■! ayant pour limite it/, et telles que Ton a, quel
que soit y», et, par suite.
Posons
|«A.pI^aA,
fi— Ui.i— Uî i — ...—Ui
fi est une fonction continue. Je dis quelle tend vers /. En effet, écrivons
Donnons-nous un nombre positif it. A cause de la convergence de la série des a, nous pouvons prendre un entier q. tel qu'on ait
q étant ainsi déterminé, supposons />> q, et séparons l'expression de y — y,- en deux parties, la première étant constituée par les q premiers termes. Posons
(itl— UiJ) — {Uî— Uij) -i-. . .^ (Uç— Uçj ) = À,
( "9-i-i — «7-^1 .1 ' -^ • • • — ( «i — "'.i ' — "i-i — «'-i-î — . • . = :^- On a
Considérons d'abord u.. Les termes dont se compose u. sont respectivement moindres en valeur absolue que ceux de la série
iaq-i-i— lUq-i-i-r- . . .-z- 10!-— Oi^i -r- Cti i 2 — . . < î-
On a donc
Considérons a. Pour un point A déterminé de l'ensemble P, quand i croît indéfiniment, a tend vers o, car c'est la somme R. B. 8
I t4 CHAPITRE V.
d'un iioml^re limité de différences qui tendent vers o. On. peut donc prendre i assez grand pour avoir | À [ << £.
Donc, étant donné un point A de P, quand i dépasse une certaine valeur, on a
Cela signifie que /}(A) a pour limite /(A), et cela quel que soit le point A de P. Donc, la fonction fi tend vers y, qui est ainsi limite de fonctions continues.
Nous pouvons énoncer le théorème précédent sous la forme suivante :
Si Uon a une suite de fonctions f\if>^ . . . , f, . . . qui soient limites de fonctions continues et qui tendent uniformément vers une fonction y, la fonction f est aussi limite de fonctions continues.
En effet, si l'on pose
"v =/v — .A-lî
f est la somme d'une série uniformément convergente dont les termes sont limites de fonctions continues.
Sous une autre forme, supposons qu'une fonction f possède la propriété suivante : Quel que soit le nombre s positif, il existe une fonction 'O limite de fonctions continues qui diffère de /' de moins de s. Dans ces conditions, je dis que /est limite de fonctions continues. En effet, il suffît de prendre une suite de nombres positifs tendant vers o, Sj, So, •••, e/;, ..., et de déterminer pour chaque nombre s^ de la suite vme fonction cp, limite de fonctions continues et différant de/ de moins de £/. Ces fonctions tendent uniformément vers/. Donc, /est limite de fonctions continues.
Sous une forme très brève, on peut àwe (\n une fonction qui difj'ère de tnoins de t d' une fonction limite de fonctions continues est elle-même limite de fonctions continues.
73. Dans les méthodes que nous emploierons plus loin, nous utiliserons des fonctions continues analogues aux fonctions d'une variable étudiées précédemment (n" 59), et qui étaient constituées par la juxtaposition de fonctions linéaires. Supposons dabord qu'on
LES FOXCTIONS DE fl VARIABLES. 113
s'occupe de fonctions de n variables définies en lous les points de Gfl situés à dislance finie, p étant un entier positif donné, considérons tous les points de G„ dont les coordonnées sont de
la forme — > a étant un entier quelconque. Soit S^, l'ensemble de
ces points. Ces points sont les sommets d'un réseau cubique,
chaque cube o du réseau étant l'ensemble des points
Pour définir la fonction que nous désignerons par y^,, nous nous donnerons d'abord la valeur de cette fonction en tous les points de Sp. Puis, pour achever sa définition en tous les points de G,/, nous l'assujettirons à être, dans chaque cube o, linéaire par rapport à chacune des variables. La fonction sera ainsi bien déterminée.
Prenons pour exemple le cas de trois variables x. y. z. La fonction y^,, dans chaque cube, est de la forme
Aj j-»-;; — A, r- — A.-j.r- — Aj j-v' — A3 j- -^ Aj v — A7 ^ — Ag.
Les huit constantes sont parfaitement déterminées par ce fait que les valeurs àefp sont données aux huit sommets du cube.
Nous distinguons en plusieurs sortes les points de G„. Par exemple, toujours dans le cas de /* = 3. nous distinguons les points de Sy, ou sommets des cubes o, les points situés sur les arêtes sans être les sommets, les points situés sur les faces sans être sur les arêtes, enfin, les points à l'intérieur des cubes.
En un point de S^,, on se donne la valeur de la fonction fp. En un point A situé sur une arête, la valeur de f est déterminée par ses valeurs aux deux sommets de l'arête. En un point intérieur à une face, elle est déterminée par les valeurs aux quatre sommets de la face. En un point intérieur à un cube, elle est fixée par les valeurs aux huit sommets du cube.
On reconnaît de même, dans le cas général, que la valeur, en
un point A de coordonnées »r,, x-> x^, est déterminée par les
valeurs de fp en tous les points de Sy, dont les ii coordonnées
— • — ' . . -, — satisfont aux inég^alités
( I ) Xi ^ I < — •
Remarquons enfin que la valeur de fp (A) est comprise entre
Il6 CIIAPlTnE V.
la plus grande et la plus petite des valeurs qui la déterminent. Nous dirons que les points de Sy, satisfaisant à la condition (i) sont les points associés d'ordre p à A.
La condition (i) peut s'écrire
' <Xi<
■xi> -IP
Donc, tout point associé à A est le centre d'un cube A auquel A est intérieur (voi/' n'' 61).
Tout reviendra à définir la valeur àc/p en chaque point B de S^. Cette valeur sera définie d'après l'ensemble des valeurs de la fonction donnée /"dans le cube A de centre B et de côté ; •
Nous attacherons à chaque domaine A un certain nombre es (A), puis nous prendrons, en chaque point B de S^, //j(B) =: cp(A),
A étant le domaine de centre B et de côté r- Puis, nous com-
pléterons comme il a été dit la définition de fp en tous les points de l'espace G,;. Je dis que la suite de fonctions y,, /o, . . -t/p, . • • ainsi définie tendra vers /"si les nombres cp(A) satisfont à la condition suivante :
Condition (a). — Etant donnés un point quelconque A de G,, et un nombre positif z, on peut trouver une sphère S de centre A, telle que, pour tout domaine A contenu dans S et contenant A à son intérieur, on ait
En effet, dès que p dépasse une certaine valeur ^, les domaines A contenant A et de côté ; se trouvent contenus dans S.
A partir de ce moment, si nous considérons les valeurs àe fp aux points associés d'ordre p à A, ces valeurs sont des nombres o(A) vérifiant la condition énoncée. Or, la valeur de y^( A) se trouve comprise entre les valeurs de fp aux points associés d'ordre [) à A. Donc, dès que/? est supérieur à q^ on a
Donc on a
lim/,,(A)=/(A).
Dans ce qui précède, nous avons supposé que f était définie
LES FONCTIONS DE n VARIABLES. 1 17
en tous les points de G«. Supposons que f soit seulement définie aux points dun ensemble parfait quelconque P. Il suffira dans ce cas de définir des nombres 'f (A) relatifs à ceux des domaines A qui contiennent des points de P. La fonction fp sera définie comme précédemment, mais on ne la considérera qu'aux points de l'ensemble parfait P. Si les nombres 3 (A) satisfont à la condition (a), la fonction fp tend versy en tout point de P.
74. Occupons-nous maintenant de la détermination des nombres s (A). Soit ^ une fonction bornée définie sur un ensemble parfait P de G^, et ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait. Soit 7 un nombre positif. Je vais chercher à définir : 1° une fonction F définie sur P et difierant de f de moins de 0-; '2? des nombres 3 (A) satisfaisant à la condition («) relativement à la fonction F.
Pour la symétrie des notations, désignons par Po 1 ensemble
parfait P. Nous allons définir des ensembles Po, Pi Pa- ••'■,
X étant un nombre quelconque des classes I ou II, de la manière suivante :
i" Si a est de première espèce et >> o. P^ est l'ensemble des points de Pa i, où l'on a
D'après nos hypothèses, si Pa i existe effectivement, P^ est non dense par rapport à lui, de sorte que Ton a
Pa-i > ï'a.
2° Si X est de deuxième espèce, Pa est l'ensemble des points communs à tous les ensembles P^- d'indice a' inférieur à a.
On voit que les ensembles P^ sont fermés, satisfont aux conditions du n° 6!2. et en outre aux conditions des remarques I et III. Donc ces ensembles coïncident, à partir d'un certain rang p. avec un ensemble Pq, et, d'après la remarque I, on peut écrire
P0=S(Pv~Py+,)-PO,
Y prenant toutes les valeurs inférieures à ^.
D'après la remarque III, Pq est parfait ou nul. Je dis que Pq
Il8 CHAPITRE V.
est nécessairement nul. Car, si Pq existait effectivement, l'égalité
serait en contradiction avec le fait que l'on a P[3> P^+i. D'après cela, nous pouvons écrire
Po=z(r\-iVi)-
Tout point A de Po appartient à un ensemble bien déterminé Py — Py+1- L'ensemble Py — Py+i peut se décomposer de la façon suivante :
P,^ P,+^ - (Py- PÇ"-) + (P?- Py+l)
et l'on a
p pQ V / pv pv+i\
V prenant toutes les valeurs des classes I et II et les termes de la somme étant tous distincts et non nuls, jusqu'à un certain rang, à partir duquel ils sont nuls.
On reconnaît, en résumé, qu'un point A de Po fait partie, soit d'un ensemble P^ — P:j;+', soit d'un ensemble P^^ — Py+,, et cela d'une manière bien déterminée.
Ceci posé, définissons F. En un point A qui fait partie d'un ensemble Py — Py'^'S je pose
En un point A qui fait partie d'un ensemble P^ — Py+n je pose
Je dis que, dans le second cas, on a certainement
Car, au point A qui fait partie de P^ sans faire partie de Py+i,
on a
Or, 0) = M — m avec m = F et m '^fl^ M. Donc
|y F|iM — m<a.
Ainsi on a, en tout point,
LES FONCTIONS DE 11 VARIABLES. tig
Définissons maintenant les nombres 'f(A). Soit A un domaine. Désignons par Qy^v l'ensemble des points de Py contenus dans le domaine A, v pouvant être égal à Çl. Les ensembles Q sont des ensembles fermés ordonnés comme les ensembles P correspondants. Considérons d'abord les ensembles Qy.o où " prend toutes les valeurs des classes I et II. Ces ensembles satisfont au théorème général du n" 62 et, en outre, aux conditions de la remarque II. Car les ensembles Qy^o sont nuls, quand •/ atteint certaines valeurs, puisque P!}. est nul pour y > 3. D'ailleurs, ces ensembles sont bornés. Donc, il existe un nombre h tel que, dans le domaine A, Qyj.o existe, tandis que Q/i+i,t) v est nul.
h étant ainsi défini, considérons les ensembles Q>i.v, v étant variable. Tout d'abord, si Qa,û existe, posons  = Q. Si Qa,û n'existe pas, les ensembles Q/,,v se trouvent dans les conditions de la remarque II. Il existe donc alors un nombre k tel que Q/j * existe sans que Qa,a+j existe.
L ensemble Qa,a étant ainsi défini dans tous les cas, je pose
et je dis que les nombres ç;(A) vérifient la condition {a).
Il y a, pour un point A de P. deux cas possibles : i° A fait partie d'un ensemble P^ — P^+'. Alors A est un point isolé de P^. Prenons une sphère de centre A ne contenant aucun point de Py autre que A. Si A est un domaine contenant A et contenu dans 2, on voit que Qy^y existe et se compose de A, tandis que Qv.v+i n'existe pas. Donc, l'ensemble Q^^.a n'est autre que Qy.,. On a
o(A)=/(A;=F(Aj.
La condition (a) est donc vérifiée.
2** A fait partie d'un ensemble P7 — Py+i. Nous avons posé
Si l'on se donne un nombre positif s, on peut trouver une sphère S de centre A telle que, Il étant la portion de P^ contenue dans S, on ait
De plus, A ne faisant pas partie de Py+i, et cet ensemble étant fermé, on peut réduire le rayon de la sphère S, de façon qu'elle ne contienne aucun point de Py+i- Mais alors, si un domaine A est contenu dans S et contient A, Qy,Q existe et contient A, tandis que Qy+),o n'existe pas. D'après notre définition, on doit prendre Q^^;i=QyQ. On posera donc
cp(A) = m(/,Qy,Q).
Or, comme Qy,Q contient A et est contenu dans II, m (/, Qy,Q) est compris entre m (/, P^, A) et m(./, P^, A) — £, c'est-à-dire entre F (A) et F (A) — £. On a donc
|cp(A)-F(A)l<s.
La condition (a) est encore réalisée.
Donc, F est limite de fonctions continues. Donc, f est aussi limite de fonctions continues, ce qui démontre c[ue la condition obtenue est suffisante.
