IV. — Extension aux fonctions non bornées

7o. Pour éviter des difficultés d'ordre secondaire, nous avons jusqu'ici fait la restriction que les fonctions que nous considérons sont bornées.

INous allons lever cette restriction, et même considérer des fonctions pouvant recevoir des valeurs infinies, soit + co, soit — ce.

Nous considérons par définition -f- oo comme un nombre supérieur à tous les nombres finis^ — co comme un nombre inférieur à tous les nombres finis. Appelons R l'ensemble des nombres réels, R' l'ensemble R augmenté des nombres -h ^, — ^•

Une suite «(, u^-, ..., ««, ... est dite avoir pour limite -t- oo si, quel que soit le nombre A, les quantités u sont, à partir d'un certain rang, supérieures à A. On a une définition analogue pour une suite tendant vers — oo.

La définition générale de la limite, complétée par la convention précédente, peut s'énoncer ainsi : Une suite «<, Wo, ..., ««, ... a pour limite un nombre ^^o (les u,i et Uq appartenant àR'), si, quels

LES FONCTIONS DE il VARIABLES. 121

que soient les nombres ii! et li' tels que «'< cVo< «", il existe un entier p tel que, pour n >/>, Ton a «'< «„< lî' («).

Etant donnée une fonction définie sur un ensemble parfait quelconque, et ayant en chaque point une valeur déterminée appartenant à lensemble R', les notions de limites supérieures et de limites inférieures de la fonction pour toute portion de Tensemble, et par suite aussi en un de ses points, subsistent. Mais ces nombres peuvent être égaux à + x et à — oc. Pour la valeur de l'oscillation, considérée comme égale à la différence entre les limites supérieure et inférieure de la fonction, soit dans un intervalle, soit en un point, nous ferons les conventions suivantes : a étant un nombre fini quelconque, nous poserons :

Si, avec ces conventions. Ion a en un point (0=0, nous conviendrons de dire que la fonction est continue en ce point. Avec ces conventions, la distinction en fonctions ponctuellement discontinues ou totalement discontinues sur un ensemble parfait a un sens parfaitement déterininé.

Nous voyons qu'une fonction peut prendre en un point l'une des valeurs -j- ac ou — x, et être cependant continue partout. Néanmoins, nous réserverons le terme de fonction continue proprement dite à celles qui restent finies en chaque point et qui, par suite, sont, comme on sait, bornées dans tout ensemble borné.

76. Cherchons à quelle condition une fonction discontinue quelconque peut être limite de fonctions continues finies. Nous allons montrer qu'on peut ramener le cas général à celui des fonctions bornées.

Soit y une variable pouvant prendre toutes les valeurs de R'. Nous lui ferons correspondre une variable z définie comme il

(') Il est iotéressant de remarquer un fait que met en évidence notre définition et qui est, je crois, assez peu connu. La notion de limite ne suppose pas nécessairement donnée la définition des opérations sur les nombres irrationnels, mais seulement la définition de ces nombres en tant que formant avec les nombres rationnels un ensemble ordonné.

suit :

Pour

o=JK^ -H ^,

l-f-jK

Pour

— GO^jlO,

Dans le premier cas, z varie d'une façon continue et toujours en croissant de o à +i. Dans le second cas, toujours en croissant de — I à o. Désignons par R'^ et par R, respectivement les deux ensembles

R', correspond à R', R, à R.

On voit que la condition y' <iy" entraîne z'<i:^' et réciproquement. Désignons par T la transformation qui remplace y par z et par T~' la transformation inverse de T qui remplace z par jk-

Considérons une suite de nombres jKi, JK25 • • •? jK/o • • •; tendant vers jK,). Soient ^i, z.,, . • ., Zn, • • -, et ^q les transformés respectifs des y par T; je dis que l'on a

Je prends deux nombres z' et z" satisfaisant à l'inégalité

Les transformés jk' ^^y" de z' et ;;" par T~' satisfont à

y<.ro</'-

Puisque y,/ tend vers jKo? il existe un entier/) tel que, pour n ^p, on a

y'<yn<y"-

On aura donc aussi, pour n^p

, z'<Zn<z".

Ceci exprime que z^ tend vers Zq. La proposition réciproque se démontre de même.

Etant donnée une fonction / définie sur un ensemble parfait quelconque P, je suppose qu'à l'aide de T je transforme la valeur de f en chaque point de P. J'obtiens une certaine fonction cp. Je dirai que o est la transformée de f par X, ou que / est la trans-