LES FONCTIONS DE « VAUIABLES. I2Î

formée de es par T~*. f est quelconque, es est bornée et comprise entre — i et -H i . Je dis qu'à un point de continuité de /"correspond un point de continuité de z., et réciproquement. En effet, dire, par exemple, que f est continue en A, c'est dire qu'étant donnée une suite arbitraire de points A,, A., - . ., A„, . . ., tendant vers A, Ion a toujours

Iim/(A„)=/(Aj.

On en déduit pour les transformés par T

lim ç( A„ ) = 9(A).

Soit maintenant une suite de fonctions y*,, y^, , y^^, .... tendant vers une fonction f. Appliquons à toutes ces fonctions la t:-ansformation T. Nous les remplaçons par des fonctions nouvelles '^|. '-22- . • -j '-S/- , et î2. Je dis que '^v a pour limite es. Car,

en chaque point A, l'égalité

lim/,(A.=/(A)

entraîne

lim ^y( A )= s( A I.

On démontre de même la propriété réciproque de la précédente pour les transformées par T~' de fonctions ç,, Ço, ..., cpv? •••» toutes comprises entre — i et -f- i et tendant vers une fonction '^.

77. Ceci posé, je dis que, étant donnée une fonction f. elle est ou non limite de fonctions continues, en même temps que sa transformée par T, •.;.

En effet : i" Si y", , f,, ..., f,^ ... sont continues, il en est de même de leurs transformées s,, sîo, .... Sv et. si les premières tendent vers y, les secondes tendent vers ç;. Donc, si f est limite de fonctions continues, es 1 est également.

2" Supposons o limite de fonctions continues, ç; étant compris entre — i et -f- i, on peut toujours supposer — i ^'fv= '• Multiplions respectivement les fonctions '^,. cso. ..., '^vi •••• par des constantes a,, a^, .... a,, .... positives, inférieures à i et tendant vers I. Considérons les fonctions a, s,. aoSo, .... a.^Sv. .... Elles tendent vers es. De plus, les a,/.Sv satisfont aux conditions

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de sorte que avCpv est certainement compris entre deux nombres intérieurs à l'intervalle ( — ^i, i). Donc la transformée de av'fv par T""', que j'appelle /v, est une fonction continue finie. Et comme avcpv tend vers o.f-., tend \ersf.

D'autre ])art, sur un ensemble parfait quelconque, f et œ ont les mêmes points de continuité. Donc elles sont en même temps ponctuellement ou totalement discontinues. Or, la condition pour c|ue cp soit limite de fonctions continues est qu'elle soit ponctuellement discontinue svir tout ensemble parfait. Il en résidte que cette condition est aussi valable pour f. Nous pouvons donc énoncer le théorème général suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction quelconque finie ou infinie soit limite de fonctions continues, est qu'elle soit ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait.